Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72973 / 78293
↖ ↑ ↗
← S 33.038601°
E 20.426330°		 ← 256.04 m → S 33.038601°
E 20.429077°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
S 33.040903°
E 20.426330°		 ← 256.03 m →
65 558 m²		 S 33.040903°
E 20.429077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72973 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556743621826172 y=0.597332000732422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556743621826172 × 217)
    floor (0.556743621826172 × 131072)
    floor (72973.5)     		tx = 72973
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597332000732422 × 217)
    floor (0.597332000732422 × 131072)
    floor (78293.5)     		ty = 78293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72973 / 78293 ti = "17/72973/78293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72973/78293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72973 ÷ 217
    72973 ÷ 131072     		x = 0.556739807128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78293 ÷ 217
    78293 ÷ 131072     		y = 0.597328186035156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556739807128906 × 2 - 1) × π
    0.113479614257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.35650672
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597328186035156 × 2 - 1) × π
    -0.194656372070312 × 3.1415926535     		Φ = -0.611531028453056
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35650672} λ = 0.35650672}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611531028453056))-π/2
    2×atan(0.542519619929374)-π/2
    2×0.497081982362203-π/2
    0.994163964724406-1.57079632675     		φ = -0.57663236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35650672} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.426330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57663236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.038601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72973 KachelY 78293 0.35650672 -0.57663236 20.426330 -33.038601
    Oben rechts KachelX + 1 72974 KachelY 78293 0.35655466 -0.57663236 20.429077 -33.038601
    Unten links KachelX 72973 KachelY + 1 78294 0.35650672 -0.57667255 20.426330 -33.040903
    Unten rechts KachelX + 1 72974 KachelY + 1 78294 0.35655466 -0.57667255 20.429077 -33.040903
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57663236--0.57667255) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57663236--0.57667255) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35650672-0.35655466) × cos(-0.57663236) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838303450600669 × 6371000     		do = 256.039451744391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35650672-0.35655466) × cos(-0.57667255) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.83828153817772 × 6371000     		du = 256.032759126397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57663236)-sin(-0.57667255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838303450600669-0.83828153817772)×R²
    abs(0.35655466-0.35650672)×2.19124229485779e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19124229485779e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19124229485779e-05×40589641000000     		ar = 65558.1702633835m²