Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72972 / 78292
↖ ↑ ↗
← S 33.036298°
E 20.423584°		 ← 255.99 m → S 33.036298°
E 20.426330°		 →
↑
255.99 m
↓
↑
255.99 m
↓
S 33.038601°
E 20.423584°		 ← 255.99 m →
65 530 m²		 S 33.038601°
E 20.426330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78292 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556735992431641 y=0.597324371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556735992431641 × 217)
    floor (0.556735992431641 × 131072)
    floor (72972.5)     		tx = 72972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597324371337891 × 217)
    floor (0.597324371337891 × 131072)
    floor (78292.5)     		ty = 78292
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72972 / 78292 ti = "17/72972/78292"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72972/78292.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72972 ÷ 217
    72972 ÷ 131072     		x = 0.556732177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78292 ÷ 217
    78292 ÷ 131072     		y = 0.597320556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556732177734375 × 2 - 1) × π
    0.11346435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35645879
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597320556640625 × 2 - 1) × π
    -0.19464111328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.611483091553436
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35645879} λ = 0.35645879}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611483091553436))-π/2
    2×atan(0.542545627261287)-π/2
    2×0.497102075458921-π/2
    0.994204150917843-1.57079632675     		φ = -0.57659218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35645879} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.423584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57659218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.036298°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72972 KachelY 78292 0.35645879 -0.57659218 20.423584 -33.036298
    Oben rechts KachelX + 1 72973 KachelY 78292 0.35650672 -0.57659218 20.426330 -33.036298
    Unten links KachelX 72972 KachelY + 1 78293 0.35645879 -0.57663236 20.423584 -33.038601
    Unten rechts KachelX + 1 72973 KachelY + 1 78293 0.35650672 -0.57663236 20.426330 -33.038601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57659218--0.57663236) × R
    4.01799999999453e-05 × 6371000     		dl = 255.986779999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57659218--0.57663236) × R
    4.01799999999453e-05 × 6371000     		dr = 255.986779999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35645879-0.35650672) × cos(-0.57659218) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.838325356217857 × 6371000     		do = 255.992732575018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35645879-0.35650672) × cos(-0.57663236) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.838303450600669 × 6371000     		du = 255.986043431285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57659218)-sin(-0.57663236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838325356217857-0.838303450600669)×R²
    abs(0.35650672-0.35645879)×2.19056171880672e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.19056171880672e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.19056171880672e-05×40589641000000     		ar = 65529.8991578245m²