Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72971 / 78290
↖ ↑ ↗
← S 33.031693°
E 20.420837°		 ← 256.06 m → S 33.031693°
E 20.423584°		 →
↑
256.05 m
↓
↑
256.05 m
↓
S 33.033996°
E 20.420837°		 ← 256.05 m →
65 563 m²		 S 33.033996°
E 20.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78290 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556728363037109 y=0.597309112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556728363037109 × 217)
    floor (0.556728363037109 × 131072)
    floor (72971.5)     		tx = 72971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597309112548828 × 217)
    floor (0.597309112548828 × 131072)
    floor (78290.5)     		ty = 78290
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72971 / 78290 ti = "17/72971/78290"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72971/78290.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72971 ÷ 217
    72971 ÷ 131072     		x = 0.556724548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78290 ÷ 217
    78290 ÷ 131072     		y = 0.597305297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556724548339844 × 2 - 1) × π
    0.113449096679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.35641085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597305297851562 × 2 - 1) × π
    -0.194610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.611387217754196
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35641085} λ = 0.35641085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.611387217754196))-π/2
    2×atan(0.542597645665395)-π/2
    2×0.497142263227684-π/2
    0.994284526455369-1.57079632675     		φ = -0.57651180
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35641085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.420837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57651180 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.031693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72971 KachelY 78290 0.35641085 -0.57651180 20.420837 -33.031693
    Oben rechts KachelX + 1 72972 KachelY 78290 0.35645879 -0.57651180 20.423584 -33.031693
    Unten links KachelX 72971 KachelY + 1 78291 0.35641085 -0.57655199 20.420837 -33.033996
    Unten rechts KachelX + 1 72972 KachelY + 1 78291 0.35645879 -0.57655199 20.423584 -33.033996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57651180--0.57655199) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dl = 256.050489999971m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57651180--0.57655199) × R
    4.01899999999955e-05 × 6371000     		dr = 256.050489999971m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35641085-0.35645879) × cos(-0.57651180) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838369174293996 × 6371000     		do = 256.059525452061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35641085-0.35645879) × cos(-0.57655199) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.838347265932991 × 6371000     		du = 256.052834074689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57651180)-sin(-0.57655199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.838369174293996-0.838347265932991)×R²
    abs(0.35645879-0.35641085)×2.19083610052406e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19083610052406e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19083610052406e-05×40589641000000     		ar = 65563.3103047506m²