Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72971 / 77102
↖ ↑ ↗
← S 30.254322°
E 20.420837°		 ← 263.83 m → S 30.254322°
E 20.423584°		 →
↑
263.76 m
↓
↑
263.76 m
↓
S 30.256695°
E 20.420837°		 ← 263.82 m →
69 586 m²		 S 30.256695°
E 20.423584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556728363037109 y=0.588245391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556728363037109 × 217)
    floor (0.556728363037109 × 131072)
    floor (72971.5)     		tx = 72971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588245391845703 × 217)
    floor (0.588245391845703 × 131072)
    floor (77102.5)     		ty = 77102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72971 / 77102 ti = "17/72971/77102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72971/77102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72971 ÷ 217
    72971 ÷ 131072     		x = 0.556724548339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77102 ÷ 217
    77102 ÷ 131072     		y = 0.588241577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556724548339844 × 2 - 1) × π
    0.113449096679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.35641085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588241577148438 × 2 - 1) × π
    -0.176483154296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.55443818100557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35641085} λ = 0.35641085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.55443818100557))-π/2
    2×atan(0.574394876514173)-π/2
    2×0.521379394538992-π/2
    1.04275878907798-1.57079632675     		φ = -0.52803754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35641085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.420837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52803754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.254322°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72971 KachelY 77102 0.35641085 -0.52803754 20.420837 -30.254322
    Oben rechts KachelX + 1 72972 KachelY 77102 0.35645879 -0.52803754 20.423584 -30.254322
    Unten links KachelX 72971 KachelY + 1 77103 0.35641085 -0.52807894 20.420837 -30.256695
    Unten rechts KachelX + 1 72972 KachelY + 1 77103 0.35645879 -0.52807894 20.423584 -30.256695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52803754--0.52807894) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dl = 263.759399999804m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52803754--0.52807894) × R
    4.13999999999692e-05 × 6371000     		dr = 263.759399999804m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35641085-0.35645879) × cos(-0.52803754) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863797497396736 × 6371000     		do = 263.825989852679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35641085-0.35645879) × cos(-0.52807894) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.863776637715904 × 6371000     		du = 263.819618769224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52803754)-sin(-0.52807894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.863797497396736-0.863776637715904)×R²
    abs(0.35645879-0.35641085)×2.08596808318751e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08596808318751e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08596808318751e-05×40589641000000     		ar = 69585.744581196m²