Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7297 / 9091
↖ ↑ ↗
← N 62.252582°
W 99.832764°		 ← 568.76 m → N 62.252582°
W 99.821777°		 →
↑
568.80 m
↓
↑
568.80 m
↓
N 62.247466°
W 99.832764°		 ← 568.86 m →
323 542 m²		 N 62.247466°
W 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222702026367188 y=0.277450561523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222702026367188 × 215)
    floor (0.222702026367188 × 32768)
    floor (7297.5)     		tx = 7297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277450561523438 × 215)
    floor (0.277450561523438 × 32768)
    floor (9091.5)     		ty = 9091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7297 / 9091 ti = "15/7297/9091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7297/9091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7297 ÷ 215
    7297 ÷ 32768     		x = 0.222686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9091 ÷ 215
    9091 ÷ 32768     		y = 0.277435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.55462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74241043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.277435302734375 × 2 - 1) × π
    0.44512939453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.39841523571628
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74241043} λ = -1.74241043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.39841523571628))-π/2
    2×atan(4.04877852035733)-π/2
    2×1.32865442237069-π/2
    2.65730884474139-1.57079632675     		φ = 1.08651252
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74241043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08651252 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.252582°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7297 KachelY 9091 -1.74241043 1.08651252 -99.832764 62.252582
    Oben rechts KachelX + 1 7298 KachelY 9091 -1.74221868 1.08651252 -99.821777 62.252582
    Unten links KachelX 7297 KachelY + 1 9092 -1.74241043 1.08642324 -99.832764 62.247466
    Unten rechts KachelX + 1 7298 KachelY + 1 9092 -1.74221868 1.08642324 -99.821777 62.247466
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08651252-1.08642324) × R
    8.92800000000804e-05 × 6371000     		dl = 568.802880000512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08651252-1.08642324) × R
    8.92800000000804e-05 × 6371000     		dr = 568.802880000512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74241043--1.74221868) × cos(1.08651252) × R
    0.000191750000000157 × 0.465574641748809 × 6371000     		do = 568.764256165499m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74241043--1.74221868) × cos(1.08642324) × R
    0.000191750000000157 × 0.465653653462541 × 6371000     		du = 568.860779976204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08651252)-sin(1.08642324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465574641748809-0.465653653462541)×R²
    abs(-1.74221868--1.74241043)×7.90117137322577e-05×R²
    0.000191750000000157×7.90117137322577e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.90117137322577e-05×40589641000000     		ar = 323542.198674276m²