Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7297 / 5502
↖ ↑ ↗
← N 75.850541°
W 99.832764°		 ← 298.63 m → N 75.850541°
W 99.821777°		 →
↑
298.67 m
↓
↑
298.67 m
↓
N 75.847855°
W 99.832764°		 ← 298.69 m →
89 202 m²		 N 75.847855°
W 99.821777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222702026367188 y=0.167922973632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222702026367188 × 215)
    floor (0.222702026367188 × 32768)
    floor (7297.5)     		tx = 7297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.167922973632812 × 215)
    floor (0.167922973632812 × 32768)
    floor (5502.5)     		ty = 5502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7297 / 5502 ti = "15/7297/5502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7297/5502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7297 ÷ 215
    7297 ÷ 32768     		x = 0.222686767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5502 ÷ 215
    5502 ÷ 32768     		y = 0.16790771484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.222686767578125 × 2 - 1) × π
    -0.55462646484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.74241043
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.16790771484375 × 2 - 1) × π
    0.6641845703125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0865973666618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74241043} λ = -1.74241043}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0865973666618))-π/2
    2×atan(8.05745191261566)-π/2
    2×1.44731900159587-π/2
    2.89463800319173-1.57079632675     		φ = 1.32384168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74241043} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32384168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.850541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7297 KachelY 5502 -1.74241043 1.32384168 -99.832764 75.850541
    Oben rechts KachelX + 1 7298 KachelY 5502 -1.74221868 1.32384168 -99.821777 75.850541
    Unten links KachelX 7297 KachelY + 1 5503 -1.74241043 1.32379480 -99.832764 75.847855
    Unten rechts KachelX + 1 7298 KachelY + 1 5503 -1.74221868 1.32379480 -99.821777 75.847855
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32384168-1.32379480) × R
    4.68799999999714e-05 × 6371000     		dl = 298.672479999818m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32384168-1.32379480) × R
    4.68799999999714e-05 × 6371000     		dr = 298.672479999818m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74241043--1.74221868) × cos(1.32384168) × R
    0.000191750000000157 × 0.244452136033393 × 6371000     		do = 298.632324124977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74241043--1.74221868) × cos(1.32379480) × R
    0.000191750000000157 × 0.244497593489316 × 6371000     		du = 298.687856737337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32384168)-sin(1.32379480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.244452136033393-0.244497593489316)×R²
    abs(-1.74221868--1.74241043)×4.54574559223819e-05×R²
    0.000191750000000157×4.54574559223819e-05×6371000²
    0.000191750000000157×4.54574559223819e-05×40589641000000     		ar = 89201.549902807m²