Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7297 / 4521
↖ ↑ ↗
← N 62.502175°
W 19.665527°		 ← 1 128.07 m → N 62.502175°
W 19.643555°		 →
↑
1 128.30 m
↓
↑
1 128.30 m
↓
N 62.492028°
W 19.665527°		 ← 1 128.45 m →
1 273 021 m²		 N 62.492028°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445404052734375 y=0.275970458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445404052734375 × 214)
    floor (0.445404052734375 × 16384)
    floor (7297.5)     		tx = 7297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275970458984375 × 214)
    floor (0.275970458984375 × 16384)
    floor (4521.5)     		ty = 4521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7297 / 4521 ti = "14/7297/4521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7297/4521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7297 ÷ 214
    7297 ÷ 16384     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4521 ÷ 214
    4521 ÷ 16384     		y = 0.27593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27593994140625 × 2 - 1) × π
    0.4481201171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.40781086804181
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40781086804181))-π/2
    2×atan(4.0869986245599)-π/2
    2×1.33083253125178-π/2
    2.66166506250355-1.57079632675     		φ = 1.09086874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09086874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.502175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7297 KachelY 4521 -0.34322820 1.09086874 -19.665527 62.502175
    Oben rechts KachelX + 1 7298 KachelY 4521 -0.34284471 1.09086874 -19.643555 62.502175
    Unten links KachelX 7297 KachelY + 1 4522 -0.34322820 1.09069164 -19.665527 62.492028
    Unten rechts KachelX + 1 7298 KachelY + 1 4522 -0.34284471 1.09069164 -19.643555 62.492028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09086874-1.09069164) × R
    0.00017709999999993 × 6371000     		dl = 1128.30409999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09086874-1.09069164) × R
    0.00017709999999993 × 6371000     		dr = 1128.30409999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(1.09086874) × R
    0.000383489999999986 × 0.461714944185561 × 6371000     		do = 1128.06878039815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(1.09069164) × R
    0.000383489999999986 × 0.461872029666475 × 6371000     		du = 1128.45257396841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09086874)-sin(1.09069164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461714944185561-0.461872029666475)×R²
    abs(-0.34284471--0.34322820)×0.000157085480913699×R²
    0.000383489999999986×0.000157085480913699×6371000²
    0.000383489999999986×0.000157085480913699×40589641000000     		ar = 1273021.15126057m²