Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7297 / 3567
↖ ↑ ↗
← N 70.736230°
W 19.665527°		 ← 806.06 m → N 70.736230°
W 19.643555°		 →
↑
806.19 m
↓
↑
806.19 m
↓
N 70.728980°
W 19.665527°		 ← 806.35 m →
649 952 m²		 N 70.728980°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445404052734375 y=0.217742919921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445404052734375 × 214)
    floor (0.445404052734375 × 16384)
    floor (7297.5)     		tx = 7297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217742919921875 × 214)
    floor (0.217742919921875 × 16384)
    floor (3567.5)     		ty = 3567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7297 / 3567 ti = "14/7297/3567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7297/3567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7297 ÷ 214
    7297 ÷ 16384     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3567 ÷ 214
    3567 ÷ 16384     		y = 0.21771240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21771240234375 × 2 - 1) × π
    0.5645751953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.77366528594208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77366528594208))-π/2
    2×atan(5.89241120136542)-π/2
    2×1.40268821983004-π/2
    2.80537643966008-1.57079632675     		φ = 1.23458011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23458011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.736230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7297 KachelY 3567 -0.34322820 1.23458011 -19.665527 70.736230
    Oben rechts KachelX + 1 7298 KachelY 3567 -0.34284471 1.23458011 -19.643555 70.736230
    Unten links KachelX 7297 KachelY + 1 3568 -0.34322820 1.23445357 -19.665527 70.728980
    Unten rechts KachelX + 1 7298 KachelY + 1 3568 -0.34284471 1.23445357 -19.643555 70.728980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23458011-1.23445357) × R
    0.000126540000000119 × 6371000     		dl = 806.18634000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23458011-1.23445357) × R
    0.000126540000000119 × 6371000     		dr = 806.18634000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(1.23458011) × R
    0.000383489999999986 × 0.329917534115683 × 6371000     		do = 806.059398831738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(1.23445357) × R
    0.000383489999999986 × 0.330036986468592 × 6371000     		du = 806.351246587066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23458011)-sin(1.23445357))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329917534115683-0.330036986468592)×R²
    abs(-0.34284471--0.34322820)×0.000119452352908944×R²
    0.000383489999999986×0.000119452352908944×6371000²
    0.000383489999999986×0.000119452352908944×40589641000000     		ar = 649951.719271314m²