Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7297 / 3560
↖ ↑ ↗
← N 70.786910°
W 19.665527°		 ← 804.02 m → N 70.786910°
W 19.643555°		 →
↑
804.15 m
↓
↑
804.15 m
↓
N 70.779678°
W 19.665527°		 ← 804.31 m →
646 667 m²		 N 70.779678°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445404052734375 y=0.217315673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445404052734375 × 214)
    floor (0.445404052734375 × 16384)
    floor (7297.5)     		tx = 7297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217315673828125 × 214)
    floor (0.217315673828125 × 16384)
    floor (3560.5)     		ty = 3560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7297 / 3560 ti = "14/7297/3560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7297/3560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7297 ÷ 214
    7297 ÷ 16384     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3560 ÷ 214
    3560 ÷ 16384     		y = 0.21728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21728515625 × 2 - 1) × π
    0.5654296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.7763497523208
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7763497523208))-π/2
    2×atan(5.90825043155362)-π/2
    2×1.40313048540957-π/2
    2.80626097081914-1.57079632675     		φ = 1.23546464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23546464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.786910°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7297 KachelY 3560 -0.34322820 1.23546464 -19.665527 70.786910
    Oben rechts KachelX + 1 7298 KachelY 3560 -0.34284471 1.23546464 -19.643555 70.786910
    Unten links KachelX 7297 KachelY + 1 3561 -0.34322820 1.23533842 -19.665527 70.779678
    Unten rechts KachelX + 1 7298 KachelY + 1 3561 -0.34284471 1.23533842 -19.643555 70.779678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23546464-1.23533842) × R
    0.000126220000000066 × 6371000     		dl = 804.147620000419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23546464-1.23533842) × R
    0.000126220000000066 × 6371000     		dr = 804.147620000419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(1.23546464) × R
    0.000383489999999986 × 0.329082400211873 × 6371000     		do = 804.018987326319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(1.23533842) × R
    0.000383489999999986 × 0.329201587288807 × 6371000     		du = 804.310186955461m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23546464)-sin(1.23533842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329082400211873-0.329201587288807)×R²
    abs(-0.34284471--0.34322820)×0.000119187076934202×R²
    0.000383489999999986×0.000119187076934202×6371000²
    0.000383489999999986×0.000119187076934202×40589641000000     		ar = 646667.039696699m²