Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7297 / 10777
↖ ↑ ↗
← S 49.282140°
W 19.665527°		 ← 1 593.79 m → S 49.282140°
W 19.643555°		 →
↑
1 593.58 m
↓
↑
1 593.58 m
↓
S 49.296472°
W 19.665527°		 ← 1 593.33 m →
2 539 466 m²		 S 49.296472°
W 19.643555°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7297 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10777 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445404052734375 y=0.657806396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445404052734375 × 214)
    floor (0.445404052734375 × 16384)
    floor (7297.5)     		tx = 7297
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.657806396484375 × 214)
    floor (0.657806396484375 × 16384)
    floor (10777.5)     		ty = 10777
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7297 / 10777 ti = "14/7297/10777"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7297/10777.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7297 ÷ 214
    7297 ÷ 16384     		x = 0.44537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10777 ÷ 214
    10777 ÷ 16384     		y = 0.65777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44537353515625 × 2 - 1) × π
    -0.1092529296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.34322820
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65777587890625 × 2 - 1) × π
    -0.3155517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.991335084142761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34322820} λ = -0.34322820}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.991335084142761))-π/2
    2×atan(0.371080935885092)-π/2
    2×0.355330359298122-π/2
    0.710660718596245-1.57079632675     		φ = -0.86013561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34322820} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.665527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86013561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.282140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7297 KachelY 10777 -0.34322820 -0.86013561 -19.665527 -49.282140
    Oben rechts KachelX + 1 7298 KachelY 10777 -0.34284471 -0.86013561 -19.643555 -49.282140
    Unten links KachelX 7297 KachelY + 1 10778 -0.34322820 -0.86038574 -19.665527 -49.296472
    Unten rechts KachelX + 1 7298 KachelY + 1 10778 -0.34284471 -0.86038574 -19.643555 -49.296472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86013561--0.86038574) × R
    0.00025012999999996 × 6371000     		dl = 1593.57822999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86013561--0.86038574) × R
    0.00025012999999996 × 6371000     		dr = 1593.57822999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(-0.86013561) × R
    0.000383489999999986 × 0.652334691135227 × 6371000     		do = 1593.79376541161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34322820--0.34284471) × cos(-0.86038574) × R
    0.000383489999999986 × 0.652145089441261 × 6371000     		du = 1593.3305277487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86013561)-sin(-0.86038574))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652334691135227-0.652145089441261)×R²
    abs(-0.34284471--0.34322820)×0.000189601693965757×R²
    0.000383489999999986×0.000189601693965757×6371000²
    0.000383489999999986×0.000189601693965757×40589641000000     		ar = 2539465.958183m²