Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72967 / 55339
↖ ↑ ↗
← N 26.953901°
E 20.409851°		 ← 272.25 m → N 26.953901°
E 20.412598°		 →
↑
272.23 m
↓
↑
272.23 m
↓
N 26.951453°
E 20.409851°		 ← 272.25 m →
74 116 m²		 N 26.951453°
E 20.412598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556697845458984 y=0.422206878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556697845458984 × 217)
    floor (0.556697845458984 × 131072)
    floor (72967.5)     		tx = 72967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422206878662109 × 217)
    floor (0.422206878662109 × 131072)
    floor (55339.5)     		ty = 55339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72967 / 55339 ti = "17/72967/55339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72967/55339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72967 ÷ 217
    72967 ÷ 131072     		x = 0.556694030761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55339 ÷ 217
    55339 ÷ 131072     		y = 0.422203063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556694030761719 × 2 - 1) × π
    0.113388061523438 × 3.1415926535     		Λ = 0.35621910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422203063964844 × 2 - 1) × π
    0.155593872070312 × 3.1415926535     		Φ = 0.488812565425713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35621910} λ = 0.35621910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488812565425713))-π/2
    2×atan(1.63037910156792)-π/2
    2×1.02061532566841-π/2
    2.04123065133682-1.57079632675     		φ = 0.47043432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35621910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.409851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47043432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.953901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72967 KachelY 55339 0.35621910 0.47043432 20.409851 26.953901
    Oben rechts KachelX + 1 72968 KachelY 55339 0.35626704 0.47043432 20.412598 26.953901
    Unten links KachelX 72967 KachelY + 1 55340 0.35621910 0.47039159 20.409851 26.951453
    Unten rechts KachelX + 1 72968 KachelY + 1 55340 0.35626704 0.47039159 20.412598 26.951453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47043432-0.47039159) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dl = 272.232829999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47043432-0.47039159) × R
    4.27299999999908e-05 × 6371000     		dr = 272.232829999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35621910-0.35626704) × cos(0.47043432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891371506540063 × 6371000     		do = 272.247801999735m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35621910-0.35626704) × cos(0.47039159) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891390874101614 × 6371000     		du = 272.253717351554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47043432)-sin(0.47039159))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891371506540063-0.891390874101614)×R²
    abs(0.35626704-0.35621910)×1.93675615504096e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93675615504096e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93675615504096e-05×40589641000000     		ar = 74115.5947874462m²