Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72964 / 77084
↖ ↑ ↗
← S 30.211608°
E 20.401611°		 ← 263.94 m → S 30.211608°
E 20.404358°		 →
↑
263.89 m
↓
↑
263.89 m
↓
S 30.213982°
E 20.401611°		 ← 263.93 m →
69 650 m²		 S 30.213982°
E 20.404358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556674957275391 y=0.588108062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556674957275391 × 217)
    floor (0.556674957275391 × 131072)
    floor (72964.5)     		tx = 72964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.588108062744141 × 217)
    floor (0.588108062744141 × 131072)
    floor (77084.5)     		ty = 77084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72964 / 77084 ti = "17/72964/77084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72964/77084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72964 ÷ 217
    72964 ÷ 131072     		x = 0.556671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77084 ÷ 217
    77084 ÷ 131072     		y = 0.588104248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556671142578125 × 2 - 1) × π
    0.11334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35607529
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.588104248046875 × 2 - 1) × π
    -0.17620849609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.553575316812408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35607529} λ = 0.35607529}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.553575316812408))-π/2
    2×atan(0.574890715175801)-π/2
    2×0.521752145490184-π/2
    1.04350429098037-1.57079632675     		φ = -0.52729204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35607529} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.401611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52729204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.211608°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72964 KachelY 77084 0.35607529 -0.52729204 20.401611 -30.211608
    Oben rechts KachelX + 1 72965 KachelY 77084 0.35612323 -0.52729204 20.404358 -30.211608
    Unten links KachelX 72964 KachelY + 1 77085 0.35607529 -0.52733346 20.401611 -30.213982
    Unten rechts KachelX + 1 72965 KachelY + 1 77085 0.35612323 -0.52733346 20.404358 -30.213982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52729204--0.52733346) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dl = 263.886820000444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52729204--0.52733346) × R
    4.14200000000697e-05 × 6371000     		dr = 263.886820000444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35607529-0.35612323) × cos(-0.52729204) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864172869407675 × 6371000     		do = 263.940638126895m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35607529-0.35612323) × cos(-0.52733346) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864152026327685 × 6371000     		du = 263.934272113765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52729204)-sin(-0.52733346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864172869407675-0.864152026327685)×R²
    abs(0.35612323-0.35607529)×2.08430799893966e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08430799893966e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08430799893966e-05×40589641000000     		ar = 69649.6157206514m²