Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72962 / 77061
↖ ↑ ↗
← S 30.157002°
E 20.396118°		 ← 264.03 m → S 30.157002°
E 20.398865°		 →
↑
264.08 m
↓
↑
264.08 m
↓
S 30.159377°
E 20.396118°		 ← 264.03 m →
69 724 m²		 S 30.159377°
E 20.398865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77061 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556659698486328 y=0.587932586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556659698486328 × 217)
    floor (0.556659698486328 × 131072)
    floor (72962.5)     		tx = 72962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587932586669922 × 217)
    floor (0.587932586669922 × 131072)
    floor (77061.5)     		ty = 77061
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72962 / 77061 ti = "17/72962/77061"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72962/77061.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72962 ÷ 217
    72962 ÷ 131072     		x = 0.556655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77061 ÷ 217
    77061 ÷ 131072     		y = 0.587928771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556655883789062 × 2 - 1) × π
    0.113311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35597942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587928771972656 × 2 - 1) × π
    -0.175857543945312 × 3.1415926535     		Φ = -0.552472768121147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35597942} λ = 0.35597942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552472768121147))-π/2
    2×atan(0.575524909732381)-π/2
    2×0.522228673928389-π/2
    1.04445734785678-1.57079632675     		φ = -0.52633898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35597942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.396118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52633898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.157002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72962 KachelY 77061 0.35597942 -0.52633898 20.396118 -30.157002
    Oben rechts KachelX + 1 72963 KachelY 77061 0.35602735 -0.52633898 20.398865 -30.157002
    Unten links KachelX 72962 KachelY + 1 77062 0.35597942 -0.52638043 20.396118 -30.159377
    Unten rechts KachelX + 1 72963 KachelY + 1 77062 0.35602735 -0.52638043 20.398865 -30.159377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52633898--0.52638043) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dl = 264.07794999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52633898--0.52638043) × R
    4.14499999999984e-05 × 6371000     		dr = 264.07794999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35597942-0.35602735) × cos(-0.52633898) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.864652051929035 × 6371000     		do = 264.031905820877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35597942-0.35602735) × cos(-0.52638043) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.864631227899752 × 6371000     		du = 264.025546953023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52633898)-sin(-0.52638043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864652051929035-0.864631227899752)×R²
    abs(0.35602735-0.35597942)×2.08240292829398e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08240292829398e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08240292829398e-05×40589641000000     		ar = 69724.1648152154m²