Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72962 / 75941
↖ ↑ ↗
← S 27.461977°
E 20.396118°		 ← 270.95 m → S 27.461977°
E 20.398865°		 →
↑
270.96 m
↓
↑
270.96 m
↓
S 27.464413°
E 20.396118°		 ← 270.95 m →
73 416 m²		 S 27.464413°
E 20.398865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556659698486328 y=0.579387664794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556659698486328 × 217)
    floor (0.556659698486328 × 131072)
    floor (72962.5)     		tx = 72962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579387664794922 × 217)
    floor (0.579387664794922 × 131072)
    floor (75941.5)     		ty = 75941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72962 / 75941 ti = "17/72962/75941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72962/75941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72962 ÷ 217
    72962 ÷ 131072     		x = 0.556655883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75941 ÷ 217
    75941 ÷ 131072     		y = 0.579383850097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556655883789062 × 2 - 1) × π
    0.113311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35597942
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579383850097656 × 2 - 1) × π
    -0.158767700195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.498783440546684
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35597942} λ = 0.35597942}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.498783440546684))-π/2
    2×atan(0.607268989340315)-π/2
    2×0.545747209335614-π/2
    1.09149441867123-1.57079632675     		φ = -0.47930191
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35597942} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.396118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47930191 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.461977°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72962 KachelY 75941 0.35597942 -0.47930191 20.396118 -27.461977
    Oben rechts KachelX + 1 72963 KachelY 75941 0.35602735 -0.47930191 20.398865 -27.461977
    Unten links KachelX 72962 KachelY + 1 75942 0.35597942 -0.47934444 20.396118 -27.464413
    Unten rechts KachelX + 1 72963 KachelY + 1 75942 0.35602735 -0.47934444 20.398865 -27.464413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47930191--0.47934444) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dl = 270.958629999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47930191--0.47934444) × R
    4.25299999999851e-05 × 6371000     		dr = 270.958629999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35597942-0.35602735) × cos(-0.47930191) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.887317070048302 × 6371000     		do = 270.952941763768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35597942-0.35602735) × cos(-0.47934444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.887297456116939 × 6371000     		du = 270.94695241387m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47930191)-sin(-0.47934444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887317070048302-0.887297456116939)×R²
    abs(0.35602735-0.35597942)×1.96139313632937e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.96139313632937e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.96139313632937e-05×40589641000000     		ar = 73416.2264728748m²