Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72960 / 77056
↖ ↑ ↗
← S 30.145127°
E 20.390625°		 ← 264.12 m → S 30.145127°
E 20.393372°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
S 30.147503°
E 20.390625°		 ← 264.11 m →
69 764 m²		 S 30.147503°
E 20.393372°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72960 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556644439697266 y=0.587894439697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556644439697266 × 217)
    floor (0.556644439697266 × 131072)
    floor (72960.5)     		tx = 72960
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587894439697266 × 217)
    floor (0.587894439697266 × 131072)
    floor (77056.5)     		ty = 77056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72960 / 77056 ti = "17/72960/77056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72960/77056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72960 ÷ 217
    72960 ÷ 131072     		x = 0.556640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77056 ÷ 217
    77056 ÷ 131072     		y = 0.587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556640625 × 2 - 1) × π
    0.11328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35588354
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587890625 × 2 - 1) × π
    -0.17578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.552233083623047
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35588354} λ = 0.35588354}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.552233083623047))-π/2
    2×atan(0.575662870664402)-π/2
    2×0.522332302013094-π/2
    1.04466460402619-1.57079632675     		φ = -0.52613172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35588354} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.390625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52613172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.145127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72960 KachelY 77056 0.35588354 -0.52613172 20.390625 -30.145127
    Oben rechts KachelX + 1 72961 KachelY 77056 0.35593148 -0.52613172 20.393372 -30.145127
    Unten links KachelX 72960 KachelY + 1 77057 0.35588354 -0.52617318 20.390625 -30.147503
    Unten rechts KachelX + 1 72961 KachelY + 1 77057 0.35593148 -0.52617318 20.393372 -30.147503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52613172--0.52617318) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52613172--0.52617318) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35588354-0.35593148) × cos(-0.52613172) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864756154813241 × 6371000     		do = 264.118788503521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35588354-0.35593148) × cos(-0.52617318) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8647353331902 × 6371000     		du = 264.112429043896m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52613172)-sin(-0.52617318))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864756154813241-0.8647353331902)×R²
    abs(0.35593148-0.35588354)×2.08216230407343e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08216230407343e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08216230407343e-05×40589641000000     		ar = 69763.9353435425m²