Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72956 / 55348
↖ ↑ ↗
← N 26.931865°
E 20.379639°		 ← 272.24 m → N 26.931865°
E 20.382385°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
N 26.929416°
E 20.379639°		 ← 272.25 m →
74 132 m²		 N 26.929416°
E 20.382385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556613922119141 y=0.422275543212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556613922119141 × 217)
    floor (0.556613922119141 × 131072)
    floor (72956.5)     		tx = 72956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422275543212891 × 217)
    floor (0.422275543212891 × 131072)
    floor (55348.5)     		ty = 55348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72956 / 55348 ti = "17/72956/55348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72956/55348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72956 ÷ 217
    72956 ÷ 131072     		x = 0.556610107421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55348 ÷ 217
    55348 ÷ 131072     		y = 0.422271728515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556610107421875 × 2 - 1) × π
    0.11322021484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35569180
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422271728515625 × 2 - 1) × π
    0.15545654296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.488381133329132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35569180} λ = 0.35569180}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488381133329132))-π/2
    2×atan(1.6296758554063)-π/2
    2×1.02042302373229-π/2
    2.04084604746458-1.57079632675     		φ = 0.47004972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35569180} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.379639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47004972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.931865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72956 KachelY 55348 0.35569180 0.47004972 20.379639 26.931865
    Oben rechts KachelX + 1 72957 KachelY 55348 0.35573973 0.47004972 20.382385 26.931865
    Unten links KachelX 72956 KachelY + 1 55349 0.35569180 0.47000698 20.379639 26.929416
    Unten rechts KachelX + 1 72957 KachelY + 1 55349 0.35573973 0.47000698 20.382385 26.929416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47004972-0.47000698) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dl = 272.296539999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47004972-0.47000698) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dr = 272.296539999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35569180-0.35573973) × cos(0.47004972) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891545769587216 × 6371000     		do = 272.244226038916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35569180-0.35573973) × cos(0.47000698) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.891565127027338 × 6371000     		du = 272.250137066127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47004972)-sin(0.47000698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891545769587216-0.891565127027338)×R²
    abs(0.35573973-0.35569180)×1.93574401224916e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.93574401224916e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.93574401224916e-05×40589641000000     		ar = 74131.9655726874m²