Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72955 / 55347
↖ ↑ ↗
← N 26.934314°
E 20.376892°		 ← 272.30 m → N 26.934314°
E 20.379639°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
N 26.931865°
E 20.376892°		 ← 272.30 m →
74 146 m²		 N 26.931865°
E 20.379639°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556606292724609 y=0.422267913818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556606292724609 × 217)
    floor (0.556606292724609 × 131072)
    floor (72955.5)     		tx = 72955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422267913818359 × 217)
    floor (0.422267913818359 × 131072)
    floor (55347.5)     		ty = 55347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72955 / 55347 ti = "17/72955/55347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72955/55347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72955 ÷ 217
    72955 ÷ 131072     		x = 0.556602478027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55347 ÷ 217
    55347 ÷ 131072     		y = 0.422264099121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556602478027344 × 2 - 1) × π
    0.113204956054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.35564386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422264099121094 × 2 - 1) × π
    0.155471801757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.488429070228752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35564386} λ = 0.35564386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488429070228752))-π/2
    2×atan(1.62975397888668)-π/2
    2×1.02044439247033-π/2
    2.04088878494065-1.57079632675     		φ = 0.47009246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35564386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.376892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47009246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.934314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72955 KachelY 55347 0.35564386 0.47009246 20.376892 26.934314
    Oben rechts KachelX + 1 72956 KachelY 55347 0.35569180 0.47009246 20.379639 26.934314
    Unten links KachelX 72955 KachelY + 1 55348 0.35564386 0.47004972 20.376892 26.931865
    Unten rechts KachelX + 1 72956 KachelY + 1 55348 0.35569180 0.47004972 20.379639 26.931865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47009246-0.47004972) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dl = 272.296539999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47009246-0.47004972) × R
    4.27399999999856e-05 × 6371000     		dr = 272.296539999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35564386-0.35569180) × cos(0.47009246) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8915264105185 × 6371000     		do = 272.295113662293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35564386-0.35569180) × cos(0.47004972) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.891545769587216 × 6371000     		du = 272.301026420182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47009246)-sin(0.47004972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8915264105185-0.891545769587216)×R²
    abs(0.35569180-0.35564386)×1.93590687157519e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93590687157519e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93590687157519e-05×40589641000000     		ar = 74145.8223322237m²