Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72954 / 55353
↖ ↑ ↗
← N 26.919621°
E 20.374145°		 ← 272.33 m → N 26.919621°
E 20.376892°		 →
↑
272.30 m
↓
↑
272.30 m
↓
N 26.917172°
E 20.374145°		 ← 272.34 m →
74 155 m²		 N 26.917172°
E 20.376892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72954 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55353 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556598663330078 y=0.422313690185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556598663330078 × 217)
    floor (0.556598663330078 × 131072)
    floor (72954.5)     		tx = 72954
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422313690185547 × 217)
    floor (0.422313690185547 × 131072)
    floor (55353.5)     		ty = 55353
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72954 / 55353 ti = "17/72954/55353"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72954/55353.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72954 ÷ 217
    72954 ÷ 131072     		x = 0.556594848632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55353 ÷ 217
    55353 ÷ 131072     		y = 0.422309875488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556594848632812 × 2 - 1) × π
    0.113189697265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35559592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422309875488281 × 2 - 1) × π
    0.155380249023438 × 3.1415926535     		Φ = 0.488141448831032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35559592} λ = 0.35559592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.488141448831032))-π/2
    2×atan(1.62928529417444)-π/2
    2×1.02031617308321-π/2
    2.04063234616641-1.57079632675     		φ = 0.46983602
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35559592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.374145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46983602 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.919621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72954 KachelY 55353 0.35559592 0.46983602 20.374145 26.919621
    Oben rechts KachelX + 1 72955 KachelY 55353 0.35564386 0.46983602 20.376892 26.919621
    Unten links KachelX 72954 KachelY + 1 55354 0.35559592 0.46979328 20.374145 26.917172
    Unten rechts KachelX + 1 72955 KachelY + 1 55354 0.35564386 0.46979328 20.376892 26.917172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46983602-0.46979328) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dl = 272.296540000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46983602-0.46979328) × R
    4.27400000000411e-05 × 6371000     		dr = 272.296540000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35559592-0.35564386) × cos(0.46983602) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891642540501186 × 6371000     		do = 272.330582747876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35559592-0.35564386) × cos(0.46979328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.891661889797811 × 6371000     		du = 272.336492521116m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46983602)-sin(0.46979328))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.891642540501186-0.891661889797811)×R²
    abs(0.35564386-0.35559592)×1.93492966249487e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93492966249487e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93492966249487e-05×40589641000000     		ar = 74155.4800352757m²