Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72946 / 55414
↖ ↑ ↗
← N 26.770135°
E 20.352173°		 ← 272.63 m → N 26.770135°
E 20.354919°		 →
↑
272.68 m
↓
↑
272.68 m
↓
N 26.767683°
E 20.352173°		 ← 272.64 m →
74 342 m²		 N 26.767683°
E 20.354919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72946 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556537628173828 y=0.422779083251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556537628173828 × 217)
    floor (0.556537628173828 × 131072)
    floor (72946.5)     		tx = 72946
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422779083251953 × 217)
    floor (0.422779083251953 × 131072)
    floor (55414.5)     		ty = 55414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72946 / 55414 ti = "17/72946/55414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72946/55414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72946 ÷ 217
    72946 ÷ 131072     		x = 0.556533813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55414 ÷ 217
    55414 ÷ 131072     		y = 0.422775268554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556533813476562 × 2 - 1) × π
    0.113067626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35521243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422775268554688 × 2 - 1) × π
    0.154449462890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.485217297954208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35521243} λ = 0.35521243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485217297954208))-π/2
    2×atan(1.62452797709918)-π/2
    2×1.01901166258564-π/2
    2.03802332517127-1.57079632675     		φ = 0.46722700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35521243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.352173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46722700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.770135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72946 KachelY 55414 0.35521243 0.46722700 20.352173 26.770135
    Oben rechts KachelX + 1 72947 KachelY 55414 0.35526036 0.46722700 20.354919 26.770135
    Unten links KachelX 72946 KachelY + 1 55415 0.35521243 0.46718420 20.352173 26.767683
    Unten rechts KachelX + 1 72947 KachelY + 1 55415 0.35526036 0.46718420 20.354919 26.767683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46722700-0.46718420) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dl = 272.678800000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46722700-0.46718420) × R
    4.28000000000095e-05 × 6371000     		dr = 272.678800000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35521243-0.35526036) × cos(0.46722700) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.892820712387291 × 6371000     		do = 272.633545160481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35521243-0.35526036) × cos(0.46718420) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.892839989212911 × 6371000     		du = 272.639431571084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46722700)-sin(0.46718420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892820712387291-0.892839989212911)×R²
    abs(0.35526036-0.35521243)×1.92768256191966e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92768256191966e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92768256191966e-05×40589641000000     		ar = 74342.1904951531m²