Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72944 / 78354
↖ ↑ ↗
← S 33.178939°
E 20.346680°		 ← 255.63 m → S 33.178939°
E 20.349426°		 →
↑
255.60 m
↓
↑
255.60 m
↓
S 33.181238°
E 20.346680°		 ← 255.62 m →
65 340 m²		 S 33.181238°
E 20.349426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72944 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556522369384766 y=0.597797393798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556522369384766 × 217)
    floor (0.556522369384766 × 131072)
    floor (72944.5)     		tx = 72944
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597797393798828 × 217)
    floor (0.597797393798828 × 131072)
    floor (78354.5)     		ty = 78354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72944 / 78354 ti = "17/72944/78354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72944/78354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72944 ÷ 217
    72944 ÷ 131072     		x = 0.5565185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78354 ÷ 217
    78354 ÷ 131072     		y = 0.597793579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5565185546875 × 2 - 1) × π
    0.113037109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.35511655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597793579101562 × 2 - 1) × π
    -0.195587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.61445517932988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35511655} λ = 0.35511655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61445517932988))-π/2
    2×atan(0.540935527897868)-π/2
    2×0.495857297196622-π/2
    0.991714594393244-1.57079632675     		φ = -0.57908173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35511655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.346680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57908173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.178939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72944 KachelY 78354 0.35511655 -0.57908173 20.346680 -33.178939
    Oben rechts KachelX + 1 72945 KachelY 78354 0.35516449 -0.57908173 20.349426 -33.178939
    Unten links KachelX 72944 KachelY + 1 78355 0.35511655 -0.57912185 20.346680 -33.181238
    Unten rechts KachelX + 1 72945 KachelY + 1 78355 0.35516449 -0.57912185 20.349426 -33.181238
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57908173--0.57912185) × R
    4.01200000000879e-05 × 6371000     		dl = 255.60452000056m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57908173--0.57912185) × R
    4.01200000000879e-05 × 6371000     		dr = 255.60452000056m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35511655-0.35516449) × cos(-0.57908173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836965531123996 × 6371000     		do = 255.630816698168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35511655-0.35516449) × cos(-0.57912185) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.836943574555441 × 6371000     		du = 255.624110596969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57908173)-sin(-0.57912185))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836965531123996-0.836943574555441)×R²
    abs(0.35516449-0.35511655)×2.19565685545264e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.19565685545264e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.19565685545264e-05×40589641000000     		ar = 65339.5351534087m²