Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72941 / 77037
↖ ↑ ↗
← S 30.099989°
E 20.338440°		 ← 264.24 m → S 30.099989°
E 20.341187°		 →
↑
264.21 m
↓
↑
264.21 m
↓
S 30.102365°
E 20.338440°		 ← 264.23 m →
69 813 m²		 S 30.102365°
E 20.341187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72941 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556499481201172 y=0.587749481201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556499481201172 × 217)
    floor (0.556499481201172 × 131072)
    floor (72941.5)     		tx = 72941
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587749481201172 × 217)
    floor (0.587749481201172 × 131072)
    floor (77037.5)     		ty = 77037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72941 / 77037 ti = "17/72941/77037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72941/77037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72941 ÷ 217
    72941 ÷ 131072     		x = 0.556495666503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77037 ÷ 217
    77037 ÷ 131072     		y = 0.587745666503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556495666503906 × 2 - 1) × π
    0.112991333007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.35497274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587745666503906 × 2 - 1) × π
    -0.175491333007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.551322282530266
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35497274} λ = 0.35497274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.551322282530266))-π/2
    2×atan(0.576187423881636)-π/2
    2×0.522726202474707-π/2
    1.04545240494941-1.57079632675     		φ = -0.52534392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35497274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.338440°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52534392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.099989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72941 KachelY 77037 0.35497274 -0.52534392 20.338440 -30.099989
    Oben rechts KachelX + 1 72942 KachelY 77037 0.35502068 -0.52534392 20.341187 -30.099989
    Unten links KachelX 72941 KachelY + 1 77038 0.35497274 -0.52538539 20.338440 -30.102365
    Unten rechts KachelX + 1 72942 KachelY + 1 77038 0.35502068 -0.52538539 20.341187 -30.102365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52534392--0.52538539) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dl = 264.205369999923m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52534392--0.52538539) × R
    4.14699999999879e-05 × 6371000     		dr = 264.205369999923m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35497274-0.35502068) × cos(-0.52534392) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865151513274097 × 6371000     		do = 264.239541153687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35497274-0.35502068) × cos(-0.52538539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865130714886538 × 6371000     		du = 264.233188790777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52534392)-sin(-0.52538539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865151513274097-0.865130714886538)×R²
    abs(0.35502068-0.35497274)×2.07983875589735e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07983875589735e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07983875589735e-05×40589641000000     		ar = 69812.6665849576m²