Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 7294 / 9092
↖ ↑ ↗
← N 62.247466°
W 99.865723°		 ← 568.86 m → N 62.247466°
W 99.854736°		 →
↑
568.93 m
↓
↑
568.93 m
↓
N 62.242350°
W 99.865723°		 ← 568.96 m →
323 670 m²		 N 62.242350°
W 99.854736°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9092 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.222610473632812 y=0.277481079101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.222610473632812 × 215)
    floor (0.222610473632812 × 32768)
    floor (7294.5)     		tx = 7294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277481079101562 × 215)
    floor (0.277481079101562 × 32768)
    floor (9092.5)     		ty = 9092
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 7294 / 9092 ti = "15/7294/9092"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/7294/9092.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7294 ÷ 215
    7294 ÷ 32768     		x = 0.22259521484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9092 ÷ 215
    9092 ÷ 32768     		y = 0.2774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.22259521484375 × 2 - 1) × π
    -0.5548095703125 × 3.1415926535     		Λ = -1.74298567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2774658203125 × 2 - 1) × π
    0.445068359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.3982234881178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.74298567} λ = -1.74298567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3982234881178))-π/2
    2×atan(4.04800225122553)-π/2
    2×1.32860978217327-π/2
    2.65721956434654-1.57079632675     		φ = 1.08642324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.74298567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.865723°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08642324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.247466°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7294 KachelY 9092 -1.74298567 1.08642324 -99.865723 62.247466
    Oben rechts KachelX + 1 7295 KachelY 9092 -1.74279392 1.08642324 -99.854736 62.247466
    Unten links KachelX 7294 KachelY + 1 9093 -1.74298567 1.08633394 -99.865723 62.242350
    Unten rechts KachelX + 1 7295 KachelY + 1 9093 -1.74279392 1.08633394 -99.854736 62.242350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08642324-1.08633394) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dl = 568.930299999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08642324-1.08633394) × R
    8.92999999999589e-05 × 6371000     		dr = 568.930299999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.74298567--1.74279392) × cos(1.08642324) × R
    0.000191749999999935 × 0.465653653462541 × 6371000     		do = 568.860779975546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.74298567--1.74279392) × cos(1.08633394) × R
    0.000191749999999935 × 0.465732679163095 × 6371000     		du = 568.957320873101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08642324)-sin(1.08633394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.465653653462541-0.465732679163095)×R²
    abs(-1.74279392--1.74298567)×7.90257005542361e-05×R²
    0.000191749999999935×7.90257005542361e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.90257005542361e-05×40589641000000     		ar = 323669.596945625m²