Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7294 / 4798
↖ ↑ ↗
← N 59.556592°
W 19.731445°		 ← 1 237.98 m → N 59.556592°
W 19.709473°		 →
↑
1 238.14 m
↓
↑
1 238.14 m
↓
N 59.545457°
W 19.731445°		 ← 1 238.39 m →
1 533 043 m²		 N 59.545457°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4798 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445220947265625 y=0.292877197265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445220947265625 × 214)
    floor (0.445220947265625 × 16384)
    floor (7294.5)     		tx = 7294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292877197265625 × 214)
    floor (0.292877197265625 × 16384)
    floor (4798.5)     		ty = 4798
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7294 / 4798 ti = "14/7294/4798"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7294/4798.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7294 ÷ 214
    7294 ÷ 16384     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4798 ÷ 214
    4798 ÷ 16384     		y = 0.2928466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2928466796875 × 2 - 1) × π
    0.414306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.30158269848376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30158269848376))-π/2
    2×atan(3.67510865599094)-π/2
    2×1.30512747322387-π/2
    2.61025494644773-1.57079632675     		φ = 1.03945862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03945862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.556592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7294 KachelY 4798 -0.34437869 1.03945862 -19.731445 59.556592
    Oben rechts KachelX + 1 7295 KachelY 4798 -0.34399519 1.03945862 -19.709473 59.556592
    Unten links KachelX 7294 KachelY + 1 4799 -0.34437869 1.03926428 -19.731445 59.545457
    Unten rechts KachelX + 1 7295 KachelY + 1 4799 -0.34399519 1.03926428 -19.709473 59.545457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03945862-1.03926428) × R
    0.00019433999999996 × 6371000     		dl = 1238.14013999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03945862-1.03926428) × R
    0.00019433999999996 × 6371000     		dr = 1238.14013999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(1.03945862) × R
    0.000383499999999981 × 0.506687071425887 × 6371000     		do = 1237.97762784277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(1.03926428) × R
    0.000383499999999981 × 0.50685460820917 × 6371000     		du = 1238.38696686333m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03945862)-sin(1.03926428))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506687071425887-0.50685460820917)×R²
    abs(-0.34399519--0.34437869)×0.00016753678328274×R²
    0.000383499999999981×0.00016753678328274×6371000²
    0.000383499999999981×0.00016753678328274×40589641000000     		ar = 1533043.20781557m²