Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7294 / 3565
↖ ↑ ↗
← N 70.750723°
W 19.731445°		 ← 805.50 m → N 70.750723°
W 19.709473°		 →
↑
805.61 m
↓
↑
805.61 m
↓
N 70.743478°
W 19.731445°		 ← 805.79 m →
649 036 m²		 N 70.743478°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445220947265625 y=0.217620849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445220947265625 × 214)
    floor (0.445220947265625 × 16384)
    floor (7294.5)     		tx = 7294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217620849609375 × 214)
    floor (0.217620849609375 × 16384)
    floor (3565.5)     		ty = 3565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7294 / 3565 ti = "14/7294/3565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7294/3565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7294 ÷ 214
    7294 ÷ 16384     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3565 ÷ 214
    3565 ÷ 16384     		y = 0.21759033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21759033203125 × 2 - 1) × π
    0.5648193359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.774432276336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.774432276336))-π/2
    2×atan(5.89693235777402)-π/2
    2×1.40281469582461-π/2
    2.80562939164922-1.57079632675     		φ = 1.23483306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23483306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.750723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7294 KachelY 3565 -0.34437869 1.23483306 -19.731445 70.750723
    Oben rechts KachelX + 1 7295 KachelY 3565 -0.34399519 1.23483306 -19.709473 70.750723
    Unten links KachelX 7294 KachelY + 1 3566 -0.34437869 1.23470661 -19.731445 70.743478
    Unten rechts KachelX + 1 7295 KachelY + 1 3566 -0.34399519 1.23470661 -19.709473 70.743478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23483306-1.23470661) × R
    0.00012645 × 6371000     		dl = 805.612950000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23483306-1.23470661) × R
    0.00012645 × 6371000     		dr = 805.612950000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(1.23483306) × R
    0.000383499999999981 × 0.329678736295608 × 6371000     		do = 805.49696829819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(1.23470661) × R
    0.000383499999999981 × 0.329798114242072 × 6371000     		du = 805.788641868159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23483306)-sin(1.23470661))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329678736295608-0.329798114242072)×R²
    abs(-0.34399519--0.34437869)×0.000119377946463883×R²
    0.000383499999999981×0.000119377946463883×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119377946463883×40589641000000     		ar = 649036.277714781m²