Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7294 / 3563
↖ ↑ ↗
← N 70.765205°
W 19.731445°		 ← 804.91 m → N 70.765205°
W 19.709473°		 →
↑
805.04 m
↓
↑
805.04 m
↓
N 70.757966°
W 19.731445°		 ← 805.21 m →
648 105 m²		 N 70.757966°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445220947265625 y=0.217498779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445220947265625 × 214)
    floor (0.445220947265625 × 16384)
    floor (7294.5)     		tx = 7294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217498779296875 × 214)
    floor (0.217498779296875 × 16384)
    floor (3563.5)     		ty = 3563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7294 / 3563 ti = "14/7294/3563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7294/3563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7294 ÷ 214
    7294 ÷ 16384     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3563 ÷ 214
    3563 ÷ 16384     		y = 0.21746826171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21746826171875 × 2 - 1) × π
    0.5650634765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77519926672992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77519926672992))-π/2
    2×atan(5.90145698319635)-π/2
    2×1.40294108026975-π/2
    2.80588216053949-1.57079632675     		φ = 1.23508583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23508583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.765205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7294 KachelY 3563 -0.34437869 1.23508583 -19.731445 70.765205
    Oben rechts KachelX + 1 7295 KachelY 3563 -0.34399519 1.23508583 -19.709473 70.765205
    Unten links KachelX 7294 KachelY + 1 3564 -0.34437869 1.23495947 -19.731445 70.757966
    Unten rechts KachelX + 1 7295 KachelY + 1 3564 -0.34399519 1.23495947 -19.709473 70.757966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23508583-1.23495947) × R
    0.000126360000000103 × 6371000     		dl = 805.039560000657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23508583-1.23495947) × R
    0.000126360000000103 × 6371000     		dr = 805.039560000657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(1.23508583) × R
    0.000383499999999981 × 0.329440087333239 × 6371000     		do = 804.913882419385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(1.23495947) × R
    0.000383499999999981 × 0.329559390843107 × 6371000     		du = 805.20537412002m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23508583)-sin(1.23495947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329440087333239-0.329559390843107)×R²
    abs(-0.34399519--0.34437869)×0.000119303509867608×R²
    0.000383499999999981×0.000119303509867608×6371000²
    0.000383499999999981×0.000119303509867608×40589641000000     		ar = 648104.849778436m²