Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7294 / 10830
↖ ↑ ↗
← S 50.035973°
W 19.731445°		 ← 1 569.33 m → S 50.035973°
W 19.709473°		 →
↑
1 569.11 m
↓
↑
1 569.11 m
↓
S 50.050085°
W 19.731445°		 ← 1 568.87 m →
2 462 101 m²		 S 50.050085°
W 19.709473°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7294 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445220947265625 y=0.661041259765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445220947265625 × 214)
    floor (0.445220947265625 × 16384)
    floor (7294.5)     		tx = 7294
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.661041259765625 × 214)
    floor (0.661041259765625 × 16384)
    floor (10830.5)     		ty = 10830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7294 / 10830 ti = "14/7294/10830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7294/10830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7294 ÷ 214
    7294 ÷ 16384     		x = 0.4451904296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10830 ÷ 214
    10830 ÷ 16384     		y = 0.6610107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4451904296875 × 2 - 1) × π
    -0.109619140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34437869
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6610107421875 × 2 - 1) × π
    -0.322021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.01166032958167
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34437869} λ = -0.34437869}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.01166032958167))-π/2
    2×atan(0.363614757768009)-π/2
    2×0.34875192089623-π/2
    0.69750384179246-1.57079632675     		φ = -0.87329248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34437869} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.731445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.87329248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.035973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7294 KachelY 10830 -0.34437869 -0.87329248 -19.731445 -50.035973
    Oben rechts KachelX + 1 7295 KachelY 10830 -0.34399519 -0.87329248 -19.709473 -50.035973
    Unten links KachelX 7294 KachelY + 1 10831 -0.34437869 -0.87353877 -19.731445 -50.050085
    Unten rechts KachelX + 1 7295 KachelY + 1 10831 -0.34399519 -0.87353877 -19.709473 -50.050085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.87329248--0.87353877) × R
    0.000246289999999982 × 6371000     		dl = 1569.11358999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.87329248--0.87353877) × R
    0.000246289999999982 × 6371000     		dr = 1569.11358999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(-0.87329248) × R
    0.000383499999999981 × 0.642306518954534 × 6371000     		do = 1569.33370817138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34437869--0.34399519) × cos(-0.87353877) × R
    0.000383499999999981 × 0.642117731030057 × 6371000     		du = 1568.87244669444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.87329248)-sin(-0.87353877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.642306518954534-0.642117731030057)×R²
    abs(-0.34399519--0.34437869)×0.000188787924477407×R²
    0.000383499999999981×0.000188787924477407×6371000²
    0.000383499999999981×0.000188787924477407×40589641000000     		ar = 2462100.97535558m²