Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72936 / 77016
↖ ↑ ↗
← S 30.050077°
E 20.324707°		 ← 264.32 m → S 30.050077°
E 20.327453°		 →
↑
264.33 m
↓
↑
264.33 m
↓
S 30.052454°
E 20.324707°		 ← 264.31 m →
69 867 m²		 S 30.052454°
E 20.327453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72936 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556461334228516 y=0.587589263916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556461334228516 × 217)
    floor (0.556461334228516 × 131072)
    floor (72936.5)     		tx = 72936
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587589263916016 × 217)
    floor (0.587589263916016 × 131072)
    floor (77016.5)     		ty = 77016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72936 / 77016 ti = "17/72936/77016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72936/77016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72936 ÷ 217
    72936 ÷ 131072     		x = 0.55645751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77016 ÷ 217
    77016 ÷ 131072     		y = 0.58758544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55645751953125 × 2 - 1) × π
    0.1129150390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35473306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58758544921875 × 2 - 1) × π
    -0.1751708984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.550315607638245
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35473306} λ = 0.35473306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550315607638245))-π/2
    2×atan(0.576767749344885)-π/2
    2×0.523161775514312-π/2
    1.04632355102862-1.57079632675     		φ = -0.52447278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35473306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.324707°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52447278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.050077°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72936 KachelY 77016 0.35473306 -0.52447278 20.324707 -30.050077
    Oben rechts KachelX + 1 72937 KachelY 77016 0.35478099 -0.52447278 20.327453 -30.050077
    Unten links KachelX 72936 KachelY + 1 77017 0.35473306 -0.52451427 20.324707 -30.052454
    Unten rechts KachelX + 1 72937 KachelY + 1 77017 0.35478099 -0.52451427 20.327453 -30.052454
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52447278--0.52451427) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dl = 264.332789999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52447278--0.52451427) × R
    4.14899999999774e-05 × 6371000     		dr = 264.332789999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35473306-0.35478099) × cos(-0.52447278) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865588070867903 × 6371000     		do = 264.317730464169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35473306-0.35478099) × cos(-0.52451427) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.86556729372662 × 6371000     		du = 264.311385914129m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52447278)-sin(-0.52451427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865588070867903-0.86556729372662)×R²
    abs(0.35478099-0.35473306)×2.07771412834568e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.07771412834568e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.07771412834568e-05×40589641000000     		ar = 69867.0046136589m²