Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72933 / 95587
↖ ↑ ↗
← S 63.355825°
E 20.316467°		 ← 136.94 m → S 63.355825°
E 20.319214°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
S 63.357056°
E 20.316467°		 ← 136.93 m →
18 757 m²		 S 63.357056°
E 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556438446044922 y=0.729274749755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556438446044922 × 217)
    floor (0.556438446044922 × 131072)
    floor (72933.5)     		tx = 72933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729274749755859 × 217)
    floor (0.729274749755859 × 131072)
    floor (95587.5)     		ty = 95587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72933 / 95587 ti = "17/72933/95587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72933/95587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72933 ÷ 217
    72933 ÷ 131072     		x = 0.556434631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95587 ÷ 217
    95587 ÷ 131072     		y = 0.729270935058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556434631347656 × 2 - 1) × π
    0.112869262695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.35458925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729270935058594 × 2 - 1) × π
    -0.458541870117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.44055177048231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35458925} λ = 0.35458925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44055177048231))-π/2
    2×atan(0.236797064998216)-π/2
    2×0.232514293411806-π/2
    0.465028586823611-1.57079632675     		φ = -1.10576774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35458925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.316467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10576774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.355825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72933 KachelY 95587 0.35458925 -1.10576774 20.316467 -63.355825
    Oben rechts KachelX + 1 72934 KachelY 95587 0.35463718 -1.10576774 20.319214 -63.355825
    Unten links KachelX 72933 KachelY + 1 95588 0.35458925 -1.10578924 20.316467 -63.357056
    Unten rechts KachelX + 1 72934 KachelY + 1 95588 0.35463718 -1.10578924 20.319214 -63.357056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10576774--1.10578924) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dl = 136.976499999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10576774--1.10578924) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dr = 136.976499999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35458925-0.35463718) × cos(-1.10576774) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.448448352756174 × 6371000     		do = 136.939099347707m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35458925-0.35463718) × cos(-1.10578924) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.448429135764484 × 6371000     		du = 136.933231208114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10576774)-sin(-1.10578924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448448352756174-0.448429135764484)×R²
    abs(0.35463718-0.35458925)×1.92169916908846e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92169916908846e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92169916908846e-05×40589641000000     		ar = 18757.0366439196m²