Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72933 / 55404
↖ ↑ ↗
← N 26.794654°
E 20.316467°		 ← 272.57 m → N 26.794654°
E 20.319214°		 →
↑
272.62 m
↓
↑
272.62 m
↓
N 26.792203°
E 20.316467°		 ← 272.58 m →
74 309 m²		 N 26.792203°
E 20.319214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72933 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556438446044922 y=0.422702789306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556438446044922 × 217)
    floor (0.556438446044922 × 131072)
    floor (72933.5)     		tx = 72933
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422702789306641 × 217)
    floor (0.422702789306641 × 131072)
    floor (55404.5)     		ty = 55404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72933 / 55404 ti = "17/72933/55404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72933/55404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72933 ÷ 217
    72933 ÷ 131072     		x = 0.556434631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55404 ÷ 217
    55404 ÷ 131072     		y = 0.422698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556434631347656 × 2 - 1) × π
    0.112869262695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.35458925
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422698974609375 × 2 - 1) × π
    0.15460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.485696666950409
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35458925} λ = 0.35458925}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485696666950409))-π/2
    2×atan(1.6253069121286)-π/2
    2×1.01922563476303-π/2
    2.03845126952606-1.57079632675     		φ = 0.46765494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35458925} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.316467°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46765494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.794654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72933 KachelY 55404 0.35458925 0.46765494 20.316467 26.794654
    Oben rechts KachelX + 1 72934 KachelY 55404 0.35463718 0.46765494 20.319214 26.794654
    Unten links KachelX 72933 KachelY + 1 55405 0.35458925 0.46761215 20.316467 26.792203
    Unten rechts KachelX + 1 72934 KachelY + 1 55405 0.35463718 0.46761215 20.319214 26.792203
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46765494-0.46761215) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dl = 272.615090000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46765494-0.46761215) × R
    4.27900000000148e-05 × 6371000     		dr = 272.615090000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35458925-0.35463718) × cos(0.46765494) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.892627881231826 × 6371000     		do = 272.574661847401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35458925-0.35463718) × cos(0.46761215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.89264716990105 × 6371000     		du = 272.580551874591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46765494)-sin(0.46761215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892627881231826-0.89264716990105)×R²
    abs(0.35463718-0.35458925)×1.92886692237382e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92886692237382e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92886692237382e-05×40589641000000     		ar = 74308.7688377377m²