Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72930 / 95583
↖ ↑ ↗
← S 63.350897°
E 20.308228°		 ← 136.96 m → S 63.350897°
E 20.310974°		 →
↑
136.98 m
↓
↑
136.98 m
↓
S 63.352129°
E 20.308228°		 ← 136.96 m →
18 760 m²		 S 63.352129°
E 20.310974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72930 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95583 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556415557861328 y=0.729244232177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556415557861328 × 217)
    floor (0.556415557861328 × 131072)
    floor (72930.5)     		tx = 72930
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729244232177734 × 217)
    floor (0.729244232177734 × 131072)
    floor (95583.5)     		ty = 95583
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72930 / 95583 ti = "17/72930/95583"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72930/95583.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72930 ÷ 217
    72930 ÷ 131072     		x = 0.556411743164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95583 ÷ 217
    95583 ÷ 131072     		y = 0.729240417480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556411743164062 × 2 - 1) × π
    0.112823486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35444544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729240417480469 × 2 - 1) × π
    -0.458480834960938 × 3.1415926535     		Φ = -1.44036002288383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35444544} λ = 0.35444544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44036002288383))-π/2
    2×atan(0.23684247462021)-π/2
    2×0.232557291543624-π/2
    0.465114583087247-1.57079632675     		φ = -1.10568174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35444544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.308228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10568174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.350897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72930 KachelY 95583 0.35444544 -1.10568174 20.308228 -63.350897
    Oben rechts KachelX + 1 72931 KachelY 95583 0.35449337 -1.10568174 20.310974 -63.350897
    Unten links KachelX 72930 KachelY + 1 95584 0.35444544 -1.10570324 20.308228 -63.352129
    Unten rechts KachelX + 1 72931 KachelY + 1 95584 0.35449337 -1.10570324 20.310974 -63.352129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10568174--1.10570324) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dl = 136.976499999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10568174--1.10570324) × R
    2.14999999998966e-05 × 6371000     		dr = 136.976499999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35444544-0.35449337) × cos(-1.10568174) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.448525218649897 × 6371000     		do = 136.962571273052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35444544-0.35449337) × cos(-1.10570324) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.44850600248744 × 6371000     		du = 136.956703386675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10568174)-sin(-1.10570324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448525218649897-0.44850600248744)×R²
    abs(0.35449337-0.35444544)×1.92161624565923e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92161624565923e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92161624565923e-05×40589641000000     		ar = 18760.2517631553m²