Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7293 / 3564
↖ ↑ ↗
← N 70.757966°
W 19.753418°		 ← 805.18 m → N 70.757966°
W 19.731445°		 →
↑
805.36 m
↓
↑
805.36 m
↓
N 70.750723°
W 19.753418°		 ← 805.48 m →
648 579 m²		 N 70.750723°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445159912109375 y=0.217559814453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445159912109375 × 214)
    floor (0.445159912109375 × 16384)
    floor (7293.5)     		tx = 7293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.217559814453125 × 214)
    floor (0.217559814453125 × 16384)
    floor (3564.5)     		ty = 3564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7293 / 3564 ti = "14/7293/3564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7293/3564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7293 ÷ 214
    7293 ÷ 16384     		x = 0.44512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3564 ÷ 214
    3564 ÷ 16384     		y = 0.217529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.217529296875 × 2 - 1) × π
    0.56494140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.77481577153296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34476218} λ = -0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.77481577153296))-π/2
    2×atan(5.89919423669216)-π/2
    2×1.40287789948722-π/2
    2.80575579897444-1.57079632675     		φ = 1.23495947
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23495947 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.757966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7293 KachelY 3564 -0.34476218 1.23495947 -19.753418 70.757966
    Oben rechts KachelX + 1 7294 KachelY 3564 -0.34437869 1.23495947 -19.731445 70.757966
    Unten links KachelX 7293 KachelY + 1 3565 -0.34476218 1.23483306 -19.753418 70.750723
    Unten rechts KachelX + 1 7294 KachelY + 1 3565 -0.34437869 1.23483306 -19.731445 70.750723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23495947-1.23483306) × R
    0.000126410000000021 × 6371000     		dl = 805.358110000135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23495947-1.23483306) × R
    0.000126410000000021 × 6371000     		dr = 805.358110000135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34476218--0.34437869) × cos(1.23495947) × R
    0.000383489999999986 × 0.329559390843107 × 6371000     		do = 805.18437789124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34476218--0.34437869) × cos(1.23483306) × R
    0.000383489999999986 × 0.329678736295608 × 6371000     		du = 805.475964465911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23495947)-sin(1.23483306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.329559390843107-0.329678736295608)×R²
    abs(-0.34437869--0.34476218)×0.000119345452501696×R²
    0.000383489999999986×0.000119345452501696×6371000²
    0.000383489999999986×0.000119345452501696×40589641000000     		ar = 648579.185449816m²