Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7293 / 3545
↖ ↑ ↗
← N 70.895078°
W 19.753418°		 ← 799.66 m → N 70.895078°
W 19.731445°		 →
↑
799.82 m
↓
↑
799.82 m
↓
N 70.887885°
W 19.753418°		 ← 799.95 m →
639 698 m²		 N 70.887885°
W 19.731445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7293 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3545 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445159912109375 y=0.216400146484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445159912109375 × 214)
    floor (0.445159912109375 × 16384)
    floor (7293.5)     		tx = 7293
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.216400146484375 × 214)
    floor (0.216400146484375 × 16384)
    floor (3545.5)     		ty = 3545
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7293 / 3545 ti = "14/7293/3545"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7293/3545.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7293 ÷ 214
    7293 ÷ 16384     		x = 0.44512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3545 ÷ 214
    3545 ÷ 16384     		y = 0.21636962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.1097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.34476218
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21636962890625 × 2 - 1) × π
    0.5672607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.78210218027521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34476218} λ = -0.34476218}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.78210218027521))-π/2
    2×atan(5.94233515747303)-π/2
    2×1.40407443014814-π/2
    2.80814886029628-1.57079632675     		φ = 1.23735253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34476218} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.753418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23735253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.895078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7293 KachelY 3545 -0.34476218 1.23735253 -19.753418 70.895078
    Oben rechts KachelX + 1 7294 KachelY 3545 -0.34437869 1.23735253 -19.731445 70.895078
    Unten links KachelX 7293 KachelY + 1 3546 -0.34476218 1.23722699 -19.753418 70.887885
    Unten rechts KachelX + 1 7294 KachelY + 1 3546 -0.34437869 1.23722699 -19.731445 70.887885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23735253-1.23722699) × R
    0.00012553999999998 × 6371000     		dl = 799.81533999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23735253-1.23722699) × R
    0.00012553999999998 × 6371000     		dr = 799.81533999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34476218--0.34437869) × cos(1.23735253) × R
    0.000383489999999986 × 0.327299078015015 × 6371000     		do = 799.661948159619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34476218--0.34437869) × cos(1.23722699) × R
    0.000383489999999986 × 0.327417700792455 × 6371000     		du = 799.951769083893m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23735253)-sin(1.23722699))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327299078015015-0.327417700792455)×R²
    abs(-0.34437869--0.34476218)×0.000118622777440902×R²
    0.000383489999999986×0.000118622777440902×6371000²
    0.000383489999999986×0.000118622777440902×40589641000000     		ar = 639697.795402778m²