Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72928 / 77025
↖ ↑ ↗
← S 30.071471°
E 20.302734°		 ← 264.32 m → S 30.071471°
E 20.305481°		 →
↑
264.27 m
↓
↑
264.27 m
↓
S 30.073848°
E 20.302734°		 ← 264.31 m →
69 850 m²		 S 30.073848°
E 20.305481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72928 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556400299072266 y=0.587657928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556400299072266 × 217)
    floor (0.556400299072266 × 131072)
    floor (72928.5)     		tx = 72928
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587657928466797 × 217)
    floor (0.587657928466797 × 131072)
    floor (77025.5)     		ty = 77025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72928 / 77025 ti = "17/72928/77025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72928/77025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72928 ÷ 217
    72928 ÷ 131072     		x = 0.556396484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77025 ÷ 217
    77025 ÷ 131072     		y = 0.587654113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556396484375 × 2 - 1) × π
    0.11279296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35434956
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587654113769531 × 2 - 1) × π
    -0.175308227539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.550747039734825
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35434956} λ = 0.35434956}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.550747039734825))-π/2
    2×atan(0.576518966895771)-π/2
    2×0.522975074448509-π/2
    1.04595014889702-1.57079632675     		φ = -0.52484618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35434956} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.302734°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52484618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.071471°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72928 KachelY 77025 0.35434956 -0.52484618 20.302734 -30.071471
    Oben rechts KachelX + 1 72929 KachelY 77025 0.35439750 -0.52484618 20.305481 -30.071471
    Unten links KachelX 72928 KachelY + 1 77026 0.35434956 -0.52488766 20.302734 -30.073848
    Unten rechts KachelX + 1 72929 KachelY + 1 77026 0.35439750 -0.52488766 20.305481 -30.073848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52484618--0.52488766) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dl = 264.269079999536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52484618--0.52488766) × R
    4.14799999999271e-05 × 6371000     		dr = 264.269079999536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35434956-0.35439750) × cos(-0.52484618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865401027969978 × 6371000     		do = 264.315749364318m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35434956-0.35439750) × cos(-0.52488766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.865380242431455 × 6371000     		du = 264.309400925833m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52484618)-sin(-0.52488766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865401027969978-0.865380242431455)×R²
    abs(0.35439750-0.35434956)×2.07855385230271e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.07855385230271e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.07855385230271e-05×40589641000000     		ar = 69849.6410760527m²