Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72922 / 55513
↖ ↑ ↗
← N 26.527108°
E 20.286255°		 ← 273.27 m → N 26.527108°
E 20.289002°		 →
↑
273.25 m
↓
↑
273.25 m
↓
N 26.524650°
E 20.286255°		 ← 273.28 m →
74 673 m²		 N 26.524650°
E 20.289002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72922 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556354522705078 y=0.423534393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556354522705078 × 217)
    floor (0.556354522705078 × 131072)
    floor (72922.5)     		tx = 72922
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.423534393310547 × 217)
    floor (0.423534393310547 × 131072)
    floor (55513.5)     		ty = 55513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72922 / 55513 ti = "17/72922/55513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72922/55513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72922 ÷ 217
    72922 ÷ 131072     		x = 0.556350708007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55513 ÷ 217
    55513 ÷ 131072     		y = 0.423530578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556350708007812 × 2 - 1) × π
    0.112701416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.35406194
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.423530578613281 × 2 - 1) × π
    0.152938842773438 × 3.1415926535     		Φ = 0.480471544891823
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35406194} λ = 0.35406194}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.480471544891823))-π/2
    2×atan(1.61683663352107)-π/2
    2×1.01689084975902-π/2
    2.03378169951804-1.57079632675     		φ = 0.46298537
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35406194} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.286255°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46298537 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.527108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72922 KachelY 55513 0.35406194 0.46298537 20.286255 26.527108
    Oben rechts KachelX + 1 72923 KachelY 55513 0.35410988 0.46298537 20.289002 26.527108
    Unten links KachelX 72922 KachelY + 1 55514 0.35406194 0.46294248 20.286255 26.524650
    Unten rechts KachelX + 1 72923 KachelY + 1 55514 0.35410988 0.46294248 20.289002 26.524650
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46298537-0.46294248) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dl = 273.252190000112m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46298537-0.46294248) × R
    4.28900000000176e-05 × 6371000     		dr = 273.252190000112m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35406194-0.35410988) × cos(0.46298537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894723157132691 × 6371000     		do = 273.271482362209m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35406194-0.35410988) × cos(0.46294248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.894742311891846 × 6371000     		du = 273.277332718699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46298537)-sin(0.46294248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.894723157132691-0.894742311891846)×R²
    abs(0.35410988-0.35406194)×1.91547591552599e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91547591552599e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91547591552599e-05×40589641000000     		ar = 74672.8303428355m²