Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7292 / 4541
↖ ↑ ↗
← N 62.298581°
W 19.775391°		 ← 1 135.79 m → N 62.298581°
W 19.753418°		 →
↑
1 135.95 m
↓
↑
1 135.95 m
↓
N 62.288365°
W 19.775391°		 ← 1 136.18 m →
1 290 421 m²		 N 62.288365°
W 19.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445098876953125 y=0.277191162109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445098876953125 × 214)
    floor (0.445098876953125 × 16384)
    floor (7292.5)     		tx = 7292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.277191162109375 × 214)
    floor (0.277191162109375 × 16384)
    floor (4541.5)     		ty = 4541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7292 / 4541 ti = "14/7292/4541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7292/4541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7292 ÷ 214
    7292 ÷ 16384     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4541 ÷ 214
    4541 ÷ 16384     		y = 0.27716064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27716064453125 × 2 - 1) × π
    0.4456787109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4001409641026
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4001409641026))-π/2
    2×atan(4.05577164476095)-π/2
    2×1.32905584339662-π/2
    2.65811168679323-1.57079632675     		φ = 1.08731536
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.08731536 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.298581°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7292 KachelY 4541 -0.34514568 1.08731536 -19.775391 62.298581
    Oben rechts KachelX + 1 7293 KachelY 4541 -0.34476218 1.08731536 -19.753418 62.298581
    Unten links KachelX 7292 KachelY + 1 4542 -0.34514568 1.08713706 -19.775391 62.288365
    Unten rechts KachelX + 1 7293 KachelY + 1 4542 -0.34476218 1.08713706 -19.753418 62.288365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.08731536-1.08713706) × R
    0.000178299999999965 × 6371000     		dl = 1135.94929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.08731536-1.08713706) × R
    0.000178299999999965 × 6371000     		dr = 1135.94929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34476218) × cos(1.08731536) × R
    0.000383500000000037 × 0.464863971463163 × 6371000     		do = 1135.79214690067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34476218) × cos(1.08713706) × R
    0.000383500000000037 × 0.465021827704057 × 6371000     		du = 1136.17783366014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.08731536)-sin(1.08713706))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.464863971463163-0.465021827704057)×R²
    abs(-0.34476218--0.34514568)×0.000157856240894649×R²
    0.000383500000000037×0.000157856240894649×6371000²
    0.000383500000000037×0.000157856240894649×40589641000000     		ar = 1290421.35793767m²