Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7292 / 10724
↖ ↑ ↗
← S 48.516604°
W 19.775391°		 ← 1 618.43 m → S 48.516604°
W 19.753418°		 →
↑
1 618.17 m
↓
↑
1 618.17 m
↓
S 48.531157°
W 19.775391°		 ← 1 617.97 m →
2 618 527 m²		 S 48.531157°
W 19.753418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7292 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445098876953125 y=0.654571533203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445098876953125 × 214)
    floor (0.445098876953125 × 16384)
    floor (7292.5)     		tx = 7292
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654571533203125 × 214)
    floor (0.654571533203125 × 16384)
    floor (10724.5)     		ty = 10724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7292 / 10724 ti = "14/7292/10724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7292/10724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7292 ÷ 214
    7292 ÷ 16384     		x = 0.445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10724 ÷ 214
    10724 ÷ 16384     		y = 0.654541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.445068359375 × 2 - 1) × π
    -0.10986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.34514568
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.654541015625 × 2 - 1) × π
    -0.30908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.971009838703857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34514568} λ = -0.34514568}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.971009838703857))-π/2
    2×atan(0.378700418604051)-π/2
    2×0.362010919519072-π/2
    0.724021839038143-1.57079632675     		φ = -0.84677449
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34514568} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.775391°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84677449 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.516604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7292 KachelY 10724 -0.34514568 -0.84677449 -19.775391 -48.516604
    Oben rechts KachelX + 1 7293 KachelY 10724 -0.34476218 -0.84677449 -19.753418 -48.516604
    Unten links KachelX 7292 KachelY + 1 10725 -0.34514568 -0.84702848 -19.775391 -48.531157
    Unten rechts KachelX + 1 7293 KachelY + 1 10725 -0.34476218 -0.84702848 -19.753418 -48.531157
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84677449--0.84702848) × R
    0.000253989999999926 × 6371000     		dl = 1618.17028999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84677449--0.84702848) × R
    0.000253989999999926 × 6371000     		dr = 1618.17028999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34514568--0.34476218) × cos(-0.84677449) × R
    0.000383500000000037 × 0.662402970941446 × 6371000     		do = 1618.43493723751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34514568--0.34476218) × cos(-0.84702848) × R
    0.000383500000000037 × 0.662212673548365 × 6371000     		du = 1617.96998770839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84677449)-sin(-0.84702848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662402970941446-0.662212673548365)×R²
    abs(-0.34476218--0.34514568)×0.00019029739308063×R²
    0.000383500000000037×0.00019029739308063×6371000²
    0.000383500000000037×0.00019029739308063×40589641000000     		ar = 2618527.16205489m²