Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72919 / 76987
↖ ↑ ↗
← S 29.981108°
E 20.278015°		 ← 264.56 m → S 29.981108°
E 20.280762°		 →
↑
264.52 m
↓
↑
264.52 m
↓
S 29.983486°
E 20.278015°		 ← 264.55 m →
69 981 m²		 S 29.983486°
E 20.280762°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72919 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76987 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556331634521484 y=0.587368011474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556331634521484 × 217)
    floor (0.556331634521484 × 131072)
    floor (72919.5)     		tx = 72919
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.587368011474609 × 217)
    floor (0.587368011474609 × 131072)
    floor (76987.5)     		ty = 76987
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72919 / 76987 ti = "17/72919/76987"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72919/76987.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72919 ÷ 217
    72919 ÷ 131072     		x = 0.556327819824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76987 ÷ 217
    76987 ÷ 131072     		y = 0.587364196777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556327819824219 × 2 - 1) × π
    0.112655639648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.35391813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.587364196777344 × 2 - 1) × π
    -0.174728393554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.548925437549263
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35391813} λ = 0.35391813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.548925437549263))-π/2
    2×atan(0.577570112199515)-π/2
    2×0.52376364215978-π/2
    1.04752728431956-1.57079632675     		φ = -0.52326904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35391813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.278015°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.52326904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.981108°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72919 KachelY 76987 0.35391813 -0.52326904 20.278015 -29.981108
    Oben rechts KachelX + 1 72920 KachelY 76987 0.35396607 -0.52326904 20.280762 -29.981108
    Unten links KachelX 72919 KachelY + 1 76988 0.35391813 -0.52331056 20.278015 -29.983486
    Unten rechts KachelX + 1 72920 KachelY + 1 76988 0.35396607 -0.52331056 20.280762 -29.983486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.52326904--0.52331056) × R
    4.15200000000171e-05 × 6371000     		dl = 264.523920000109m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.52326904--0.52331056) × R
    4.15200000000171e-05 × 6371000     		dr = 264.523920000109m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35391813-0.35396607) × cos(-0.52326904) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.86619022450105 × 6371000     		do = 264.556790299132m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35391813-0.35396607) × cos(-0.52331056) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.866169475611994 × 6371000     		du = 264.550453054338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.52326904)-sin(-0.52331056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.86619022450105-0.866169475611994)×R²
    abs(0.35396607-0.35391813)×2.07488890564544e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.07488890564544e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.07488890564544e-05×40589641000000     		ar = 69980.7610661985m²