Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72916 / 96036
↖ ↑ ↗
← S 63.903564°
E 20.269775°		 ← 134.35 m → S 63.903564°
E 20.272522°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
S 63.904772°
E 20.269775°		 ← 134.35 m →
18 052 m²		 S 63.904772°
E 20.272522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72916 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556308746337891 y=0.732700347900391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556308746337891 × 217)
    floor (0.556308746337891 × 131072)
    floor (72916.5)     		tx = 72916
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732700347900391 × 217)
    floor (0.732700347900391 × 131072)
    floor (96036.5)     		ty = 96036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72916 / 96036 ti = "17/72916/96036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72916/96036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72916 ÷ 217
    72916 ÷ 131072     		x = 0.556304931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96036 ÷ 217
    96036 ÷ 131072     		y = 0.732696533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556304931640625 × 2 - 1) × π
    0.11260986328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35377432
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732696533203125 × 2 - 1) × π
    -0.46539306640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.46207543841171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35377432} λ = 0.35377432}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46207543841171))-π/2
    2×atan(0.231754782471189)-π/2
    2×0.22773436620547-π/2
    0.45546873241094-1.57079632675     		φ = -1.11532759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35377432} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.269775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11532759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.903564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72916 KachelY 96036 0.35377432 -1.11532759 20.269775 -63.903564
    Oben rechts KachelX + 1 72917 KachelY 96036 0.35382226 -1.11532759 20.272522 -63.903564
    Unten links KachelX 72916 KachelY + 1 96037 0.35377432 -1.11534868 20.269775 -63.904772
    Unten rechts KachelX + 1 72917 KachelY + 1 96037 0.35382226 -1.11534868 20.272522 -63.904772
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11532759--1.11534868) × R
    2.10900000001679e-05 × 6371000     		dl = 134.36439000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11532759--1.11534868) × R
    2.10900000001679e-05 × 6371000     		dr = 134.36439000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35377432-0.35382226) × cos(-1.11532759) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439883313507713 × 6371000     		do = 134.351686541813m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35377432-0.35382226) × cos(-1.11534868) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439864373431258 × 6371000     		du = 134.345901754946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11532759)-sin(-1.11534868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439883313507713-0.439864373431258)×R²
    abs(0.35382226-0.35377432)×1.89400764548653e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89400764548653e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89400764548653e-05×40589641000000     		ar = 18051.6937739323m²