Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72914 / 95567
↖ ↑ ↗
← S 63.331180°
E 20.264282°		 ← 137.06 m → S 63.331180°
E 20.267029°		 →
↑
137.10 m
↓
↑
137.10 m
↓
S 63.332413°
E 20.264282°		 ← 137.05 m →
18 791 m²		 S 63.332413°
E 20.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556293487548828 y=0.729122161865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556293487548828 × 217)
    floor (0.556293487548828 × 131072)
    floor (72914.5)     		tx = 72914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729122161865234 × 217)
    floor (0.729122161865234 × 131072)
    floor (95567.5)     		ty = 95567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72914 / 95567 ti = "17/72914/95567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72914/95567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72914 ÷ 217
    72914 ÷ 131072     		x = 0.556289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95567 ÷ 217
    95567 ÷ 131072     		y = 0.729118347167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556289672851562 × 2 - 1) × π
    0.112579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35367845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729118347167969 × 2 - 1) × π
    -0.458236694335938 × 3.1415926535     		Φ = -1.43959303248991
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35367845} λ = 0.35367845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43959303248991))-π/2
    2×atan(0.237024200205097)-π/2
    2×0.23272935777612-π/2
    0.465458715552239-1.57079632675     		φ = -1.10533761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35367845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10533761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.331180°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72914 KachelY 95567 0.35367845 -1.10533761 20.264282 -63.331180
    Oben rechts KachelX + 1 72915 KachelY 95567 0.35372638 -1.10533761 20.267029 -63.331180
    Unten links KachelX 72914 KachelY + 1 95568 0.35367845 -1.10535913 20.264282 -63.332413
    Unten rechts KachelX + 1 72915 KachelY + 1 95568 0.35372638 -1.10535913 20.267029 -63.332413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10533761--1.10535913) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dl = 137.103919999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10533761--1.10535913) × R
    2.15199999999971e-05 × 6371000     		dr = 137.103919999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35367845-0.35372638) × cos(-1.10533761) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448832765216231 × 6371000     		do = 137.056484317026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35367845-0.35372638) × cos(-1.10535913) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.448813534500879 × 6371000     		du = 137.050611986747m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10533761)-sin(-1.10535913))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448832765216231-0.448813534500879)×R²
    abs(0.35372638-0.35367845)×1.92307153523696e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92307153523696e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92307153523696e-05×40589641000000     		ar = 18790.5787022835m²