Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72914 / 95537
↖ ↑ ↗
← S 63.294174°
E 20.264282°		 ← 137.23 m → S 63.294174°
E 20.267029°		 →
↑
137.23 m
↓
↑
137.23 m
↓
S 63.295408°
E 20.264282°		 ← 137.23 m →
18 832 m²		 S 63.295408°
E 20.267029°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72914 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556293487548828 y=0.728893280029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556293487548828 × 217)
    floor (0.556293487548828 × 131072)
    floor (72914.5)     		tx = 72914
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728893280029297 × 217)
    floor (0.728893280029297 × 131072)
    floor (95537.5)     		ty = 95537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72914 / 95537 ti = "17/72914/95537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72914/95537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72914 ÷ 217
    72914 ÷ 131072     		x = 0.556289672851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95537 ÷ 217
    95537 ÷ 131072     		y = 0.728889465332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556289672851562 × 2 - 1) × π
    0.112579345703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.35367845
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.728889465332031 × 2 - 1) × π
    -0.457778930664062 × 3.1415926535     		Φ = -1.4381549255013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35367845} λ = 0.35367845}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4381549255013))-π/2
    2×atan(0.237365311582418)-π/2
    2×0.233052299985582-π/2
    0.466104599971165-1.57079632675     		φ = -1.10469173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35367845} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.264282°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10469173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.294174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72914 KachelY 95537 0.35367845 -1.10469173 20.264282 -63.294174
    Oben rechts KachelX + 1 72915 KachelY 95537 0.35372638 -1.10469173 20.267029 -63.294174
    Unten links KachelX 72914 KachelY + 1 95538 0.35367845 -1.10471327 20.264282 -63.295408
    Unten rechts KachelX + 1 72915 KachelY + 1 95538 0.35372638 -1.10471327 20.267029 -63.295408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10469173--1.10471327) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dl = 137.231339999207m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10469173--1.10471327) × R
    2.15399999998755e-05 × 6371000     		dr = 137.231339999207m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35367845-0.35372638) × cos(-1.10469173) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.449409840113494 × 6371000     		do = 137.232701079116m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35367845-0.35372638) × cos(-1.10471327) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.44939059777379 × 6371000     		du = 137.226825199202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10469173)-sin(-1.10471327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449409840113494-0.44939059777379)×R²
    abs(0.35372638-0.35367845)×1.92423397044617e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92423397044617e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92423397044617e-05×40589641000000     		ar = 18832.2242840304m²