Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72911 / 95536
↖ ↑ ↗
← S 63.292939°
E 20.256042°		 ← 137.27 m → S 63.292939°
E 20.258789°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
S 63.294174°
E 20.256042°		 ← 137.26 m →
18 846 m²		 S 63.294174°
E 20.258789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72911 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556270599365234 y=0.728885650634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556270599365234 × 217)
    floor (0.556270599365234 × 131072)
    floor (72911.5)     		tx = 72911
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.728885650634766 × 217)
    floor (0.728885650634766 × 131072)
    floor (95536.5)     		ty = 95536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72911 / 95536 ti = "17/72911/95536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72911/95536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72911 ÷ 217
    72911 ÷ 131072     		x = 0.556266784667969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95536 ÷ 217
    95536 ÷ 131072     		y = 0.7288818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556266784667969 × 2 - 1) × π
    0.112533569335938 × 3.1415926535     		Λ = 0.35353463
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.457763671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.43810698860168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35353463} λ = 0.35353463}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43810698860168))-π/2
    2×atan(0.237376690412264)-π/2
    2×0.233063071873488-π/2
    0.466126143746977-1.57079632675     		φ = -1.10467018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35353463} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.256042°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10467018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.292939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72911 KachelY 95536 0.35353463 -1.10467018 20.256042 -63.292939
    Oben rechts KachelX + 1 72912 KachelY 95536 0.35358257 -1.10467018 20.258789 -63.292939
    Unten links KachelX 72911 KachelY + 1 95537 0.35353463 -1.10469173 20.256042 -63.294174
    Unten rechts KachelX + 1 72912 KachelY + 1 95537 0.35358257 -1.10469173 20.258789 -63.294174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10467018--1.10469173) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10467018--1.10469173) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35353463-0.35358257) × cos(-1.10467018) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449429091177846 × 6371000     		do = 137.267212750431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35353463-0.35358257) × cos(-1.10469173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449409840113494 × 6371000     		du = 137.261332979856m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10467018)-sin(-1.10469173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449429091177846-0.449409840113494)×R²
    abs(0.35358257-0.35353463)×1.92510643513e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92510643513e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92510643513e-05×40589641000000     		ar = 18845.7052070022m²