Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 7291 / 8062
↖ ↑ ↗
← N 79.304679°
W139.949341°		 ← 113.35 m → N 79.304679°
W139.943848°		 →
↑
113.40 m
↓
↑
113.40 m
↓
N 79.303659°
W139.949341°		 ← 113.36 m →
12 855 m²		 N 79.303659°
W139.943848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.111259460449219 y=0.123023986816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.111259460449219 × 216)
    floor (0.111259460449219 × 65536)
    floor (7291.5)     		tx = 7291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123023986816406 × 216)
    floor (0.123023986816406 × 65536)
    floor (8062.5)     		ty = 8062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 7291 / 8062 ti = "16/7291/8062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/7291/8062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7291 ÷ 216
    7291 ÷ 65536     		x = 0.111251831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8062 ÷ 216
    8062 ÷ 65536     		y = 0.123016357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.111251831054688 × 2 - 1) × π
    -0.777496337890625 × 3.1415926535     		Λ = -2.44257678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123016357421875 × 2 - 1) × π
    0.75396728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36865808402621
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.44257678} λ = -2.44257678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36865808402621))-π/2
    2×atan(10.6830469098233)-π/2
    2×1.47746204138884-π/2
    2.95492408277768-1.57079632675     		φ = 1.38412776
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.44257678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.949341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38412776 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.304679°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7291 KachelY 8062 -2.44257678 1.38412776 -139.949341 79.304679
    Oben rechts KachelX + 1 7292 KachelY 8062 -2.44248091 1.38412776 -139.943848 79.304679
    Unten links KachelX 7291 KachelY + 1 8063 -2.44257678 1.38410996 -139.949341 79.303659
    Unten rechts KachelX + 1 7292 KachelY + 1 8063 -2.44248091 1.38410996 -139.943848 79.303659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38412776-1.38410996) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dl = 113.403799999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38412776-1.38410996) × R
    1.77999999999567e-05 × 6371000     		dr = 113.403799999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.44257678--2.44248091) × cos(1.38412776) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185586371492202 × 6371000     		do = 113.353885986111m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.44257678--2.44248091) × cos(1.38410996) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.185603862240406 × 6371000     		du = 113.364569121202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38412776)-sin(1.38410996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185586371492202-0.185603862240406)×R²
    abs(-2.44248091--2.44257678)×1.7490748204424e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.7490748204424e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.7490748204424e-05×40589641000000     		ar = 12855.3671700265m²