Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7291 / 4518
↖ ↑ ↗
← N 62.532594°
W 19.797363°		 ← 1 126.92 m → N 62.532594°
W 19.775391°		 →
↑
1 127.09 m
↓
↑
1 127.09 m
↓
N 62.522458°
W 19.797363°		 ← 1 127.30 m →
1 270 358 m²		 N 62.522458°
W 19.775391°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7291 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.445037841796875 y=0.275787353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.445037841796875 × 214)
    floor (0.445037841796875 × 16384)
    floor (7291.5)     		tx = 7291
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.275787353515625 × 214)
    floor (0.275787353515625 × 16384)
    floor (4518.5)     		ty = 4518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7291 / 4518 ti = "14/7291/4518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7291/4518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7291 ÷ 214
    7291 ÷ 16384     		x = 0.44500732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4518 ÷ 214
    4518 ÷ 16384     		y = 0.2757568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44500732421875 × 2 - 1) × π
    -0.1099853515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.34552917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2757568359375 × 2 - 1) × π
    0.448486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.40896135363269
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.34552917} λ = -0.34552917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.40896135363269))-π/2
    2×atan(4.09170336343561)-π/2
    2×1.33109799395952-π/2
    2.66219598791904-1.57079632675     		φ = 1.09139966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.34552917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -19.797363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09139966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.532594°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7291 KachelY 4518 -0.34552917 1.09139966 -19.797363 62.532594
    Oben rechts KachelX + 1 7292 KachelY 4518 -0.34514568 1.09139966 -19.775391 62.532594
    Unten links KachelX 7291 KachelY + 1 4519 -0.34552917 1.09122275 -19.797363 62.522458
    Unten rechts KachelX + 1 7292 KachelY + 1 4519 -0.34514568 1.09122275 -19.775391 62.522458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09139966-1.09122275) × R
    0.000176909999999975 × 6371000     		dl = 1127.09360999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09139966-1.09122275) × R
    0.000176909999999975 × 6371000     		dr = 1127.09360999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.34552917--0.34514568) × cos(1.09139966) × R
    0.000383489999999986 × 0.461243938037942 × 6371000     		do = 1126.9180112121m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.34552917--0.34514568) × cos(1.09122275) × R
    0.000383489999999986 × 0.461400898350852 × 6371000     		du = 1127.30149897005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09139966)-sin(1.09122275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461243938037942-0.461400898350852)×R²
    abs(-0.34514568--0.34552917)×0.000156960312910293×R²
    0.000383489999999986×0.000156960312910293×6371000²
    0.000383489999999986×0.000156960312910293×40589641000000     		ar = 1270358.2060442m²