Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72909 / 95554
↖ ↑ ↗
← S 63.315150°
E 20.250549°		 ← 137.16 m → S 63.315150°
E 20.253296°		 →
↑
137.17 m
↓
↑
137.17 m
↓
S 63.316383°
E 20.250549°		 ← 137.16 m →
18 814 m²		 S 63.316383°
E 20.253296°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72909 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556255340576172 y=0.729022979736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556255340576172 × 217)
    floor (0.556255340576172 × 131072)
    floor (72909.5)     		tx = 72909
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729022979736328 × 217)
    floor (0.729022979736328 × 131072)
    floor (95554.5)     		ty = 95554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72909 / 95554 ti = "17/72909/95554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72909/95554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72909 ÷ 217
    72909 ÷ 131072     		x = 0.556251525878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95554 ÷ 217
    95554 ÷ 131072     		y = 0.729019165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556251525878906 × 2 - 1) × π
    0.112503051757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.35343876
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729019165039062 × 2 - 1) × π
    -0.458038330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.43896985279485
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35343876} λ = 0.35343876}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.43896985279485))-π/2
    2×atan(0.237171954907986)-π/2
    2×0.232869248454599-π/2
    0.465738496909198-1.57079632675     		φ = -1.10505783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35343876} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.250549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10505783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.315150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72909 KachelY 95554 0.35343876 -1.10505783 20.250549 -63.315150
    Oben rechts KachelX + 1 72910 KachelY 95554 0.35348670 -1.10505783 20.253296 -63.315150
    Unten links KachelX 72909 KachelY + 1 95555 0.35343876 -1.10507936 20.250549 -63.316383
    Unten rechts KachelX + 1 72910 KachelY + 1 95555 0.35348670 -1.10507936 20.253296 -63.316383
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10505783--1.10507936) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dl = 137.167629999594m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10505783--1.10507936) × R
    2.15299999999363e-05 × 6371000     		dr = 137.167629999594m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35343876-0.35348670) × cos(-1.10505783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449082763467194 × 6371000     		do = 137.161435353123m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35343876-0.35348670) × cos(-1.10507936) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.4490635265199 × 6371000     		du = 137.15555989426m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10505783)-sin(-1.10507936))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449082763467194-0.4490635265199)×R²
    abs(0.35348670-0.35343876)×1.92369472941101e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92369472941101e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92369472941101e-05×40589641000000     		ar = 18813.7060541642m²