Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72891 / 96069
↖ ↑ ↗
← S 63.943405°
E 20.201111°		 ← 134.13 m → S 63.943405°
E 20.203857°		 →
↑
134.17 m
↓
↑
134.17 m
↓
S 63.944612°
E 20.201111°		 ← 134.13 m →
17 997 m²		 S 63.944612°
E 20.203857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72891 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556118011474609 y=0.732952117919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556118011474609 × 217)
    floor (0.556118011474609 × 131072)
    floor (72891.5)     		tx = 72891
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.732952117919922 × 217)
    floor (0.732952117919922 × 131072)
    floor (96069.5)     		ty = 96069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72891 / 96069 ti = "17/72891/96069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72891/96069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72891 ÷ 217
    72891 ÷ 131072     		x = 0.556114196777344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96069 ÷ 217
    96069 ÷ 131072     		y = 0.732948303222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556114196777344 × 2 - 1) × π
    0.112228393554688 × 3.1415926535     		Λ = 0.35257590
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.732948303222656 × 2 - 1) × π
    -0.465896606445312 × 3.1415926535     		Φ = -1.46365735609917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35257590} λ = 0.35257590}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46365735609917))-π/2
    2×atan(0.231388455307747)-π/2
    2×0.227386683665505-π/2
    0.454773367331011-1.57079632675     		φ = -1.11602296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35257590} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.201111°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11602296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.943405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72891 KachelY 96069 0.35257590 -1.11602296 20.201111 -63.943405
    Oben rechts KachelX + 1 72892 KachelY 96069 0.35262383 -1.11602296 20.203857 -63.943405
    Unten links KachelX 72891 KachelY + 1 96070 0.35257590 -1.11604402 20.201111 -63.944612
    Unten rechts KachelX + 1 72892 KachelY + 1 96070 0.35262383 -1.11604402 20.203857 -63.944612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11602296--1.11604402) × R
    2.10599999999062e-05 × 6371000     		dl = 134.173259999402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11602296--1.11604402) × R
    2.10599999999062e-05 × 6371000     		dr = 134.173259999402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35257590-0.35262383) × cos(-1.11602296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.439258726745795 × 6371000     		do = 134.132936494393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35257590-0.35262383) × cos(-1.11604402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43923980717411 × 6371000     		du = 134.127159175577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11602296)-sin(-1.11604402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439258726745795-0.43923980717411)×R²
    abs(0.35262383-0.35257590)×1.89195716844837e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89195716844837e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89195716844837e-05×40589641000000     		ar = 17996.6657825479m²