Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72888 / 96084
↖ ↑ ↗
← S 63.961497°
E 20.192871°		 ← 134.05 m → S 63.961497°
E 20.195618°		 →
↑
134.05 m
↓
↑
134.05 m
↓
S 63.962702°
E 20.192871°		 ← 134.04 m →
17 968 m²		 S 63.962702°
E 20.195618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96084 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556095123291016 y=0.733066558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556095123291016 × 217)
    floor (0.556095123291016 × 131072)
    floor (72888.5)     		tx = 72888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733066558837891 × 217)
    floor (0.733066558837891 × 131072)
    floor (96084.5)     		ty = 96084
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72888 / 96084 ti = "17/72888/96084"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72888/96084.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72888 ÷ 217
    72888 ÷ 131072     		x = 0.55609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96084 ÷ 217
    96084 ÷ 131072     		y = 0.733062744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55609130859375 × 2 - 1) × π
    0.1121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35243209
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733062744140625 × 2 - 1) × π
    -0.46612548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.46437640959348
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35243209} λ = 0.35243209}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46437640959348))-π/2
    2×atan(0.231222134434386)-π/2
    2×0.227228809403228-π/2
    0.454457618806456-1.57079632675     		φ = -1.11633871
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35243209} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.192871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11633871 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.961497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72888 KachelY 96084 0.35243209 -1.11633871 20.192871 -63.961497
    Oben rechts KachelX + 1 72889 KachelY 96084 0.35248002 -1.11633871 20.195618 -63.961497
    Unten links KachelX 72888 KachelY + 1 96085 0.35243209 -1.11635975 20.192871 -63.962702
    Unten rechts KachelX + 1 72889 KachelY + 1 96085 0.35248002 -1.11635975 20.195618 -63.962702
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11633871--1.11635975) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dl = 134.045840000176m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11633871--1.11635975) × R
    2.10400000000277e-05 × 6371000     		dr = 134.045840000176m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35243209-0.35248002) × cos(-1.11633871) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438975047493848 × 6371000     		do = 134.04631162215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35243209-0.35248002) × cos(-1.11635975) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.438956142972403 × 6371000     		du = 134.040538899105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11633871)-sin(-1.11635975))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.438975047493848-0.438956142972403)×R²
    abs(0.35248002-0.35243209)×1.89045214452621e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.89045214452621e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.89045214452621e-05×40589641000000     		ar = 17967.9635361114m²