Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72879 / 55373
↖ ↑ ↗
← N 26.870631°
E 20.168152°		 ← 272.45 m → N 26.870631°
E 20.170898°		 →
↑
272.42 m
↓
↑
272.42 m
↓
N 26.868181°
E 20.168152°		 ← 272.45 m →
74 222 m²		 N 26.868181°
E 20.170898°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556026458740234 y=0.422466278076172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556026458740234 × 217)
    floor (0.556026458740234 × 131072)
    floor (72879.5)     		tx = 72879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422466278076172 × 217)
    floor (0.422466278076172 × 131072)
    floor (55373.5)     		ty = 55373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72879 / 55373 ti = "17/72879/55373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72879/55373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72879 ÷ 217
    72879 ÷ 131072     		x = 0.556022644042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55373 ÷ 217
    55373 ÷ 131072     		y = 0.422462463378906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556022644042969 × 2 - 1) × π
    0.112045288085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.35200065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422462463378906 × 2 - 1) × π
    0.155075073242188 × 3.1415926535     		Φ = 0.487182710838631
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35200065} λ = 0.35200065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.487182710838631))-π/2
    2×atan(1.62772398502524)-π/2
    2×1.01988865456809-π/2
    2.03977730913619-1.57079632675     		φ = 0.46898098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35200065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.168152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46898098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.870631°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72879 KachelY 55373 0.35200065 0.46898098 20.168152 26.870631
    Oben rechts KachelX + 1 72880 KachelY 55373 0.35204859 0.46898098 20.170898 26.870631
    Unten links KachelX 72879 KachelY + 1 55374 0.35200065 0.46893822 20.168152 26.868181
    Unten rechts KachelX + 1 72880 KachelY + 1 55374 0.35204859 0.46893822 20.170898 26.868181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46898098-0.46893822) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dl = 272.423959999841m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46898098-0.46893822) × R
    4.2759999999975e-05 × 6371000     		dr = 272.423959999841m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35200065-0.35204859) × cos(0.46898098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892029325394986 × 6371000     		do = 272.448716810286m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35200065-0.35204859) × cos(0.46893822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.892048651138425 × 6371000     		du = 272.454619389777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46898098)-sin(0.46893822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892029325394986-0.892048651138425)×R²
    abs(0.35204859-0.35200065)×1.93257434397687e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93257434397687e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93257434397687e-05×40589641000000     		ar = 74222.3623436278m²