Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 72877 / 96076
↖ ↑ ↗
← S 63.951849°
E 20.162659°		 ← 134.12 m → S 63.951849°
E 20.165405°		 →
↑
134.11 m
↓
↑
134.11 m
↓
S 63.953055°
E 20.162659°		 ← 134.11 m →
17 986 m²		 S 63.953055°
E 20.165405°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72877 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556011199951172 y=0.733005523681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556011199951172 × 217)
    floor (0.556011199951172 × 131072)
    floor (72877.5)     		tx = 72877
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733005523681641 × 217)
    floor (0.733005523681641 × 131072)
    floor (96076.5)     		ty = 96076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72877 / 96076 ti = "17/72877/96076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72877/96076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72877 ÷ 217
    72877 ÷ 131072     		x = 0.556007385253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96076 ÷ 217
    96076 ÷ 131072     		y = 0.733001708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.556007385253906 × 2 - 1) × π
    0.112014770507812 × 3.1415926535     		Λ = 0.35190478
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733001708984375 × 2 - 1) × π
    -0.46600341796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.46399291439651
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35190478} λ = 0.35190478}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46399291439651))-π/2
    2×atan(0.2313108240173)-π/2
    2×0.227312996317642-π/2
    0.454625992635284-1.57079632675     		φ = -1.11617033
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35190478} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.162659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11617033 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.951849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72877 KachelY 96076 0.35190478 -1.11617033 20.162659 -63.951849
    Oben rechts KachelX + 1 72878 KachelY 96076 0.35195272 -1.11617033 20.165405 -63.951849
    Unten links KachelX 72877 KachelY + 1 96077 0.35190478 -1.11619138 20.162659 -63.953055
    Unten rechts KachelX + 1 72878 KachelY + 1 96077 0.35195272 -1.11619138 20.165405 -63.953055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11617033--1.11619138) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dl = 134.109549999789m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11617033--1.11619138) × R
    2.10499999999669e-05 × 6371000     		dr = 134.109549999789m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35190478-0.35195272) × cos(-1.11617033) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439126330574485 × 6371000     		do = 134.120484469264m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35190478-0.35195272) × cos(-1.11619138) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439107418624092 × 6371000     		du = 134.114708272821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11617033)-sin(-1.11619138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439126330574485-0.439107418624092)×R²
    abs(0.35195272-0.35190478)×1.89119503927748e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89119503927748e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89119503927748e-05×40589641000000     		ar = 17986.4504971334m²