Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72876 / 95657
↖ ↑ ↗
← S 63.441914°
E 20.159912°		 ← 136.56 m → S 63.441914°
E 20.162659°		 →
↑
136.53 m
↓
↑
136.53 m
↓
S 63.443142°
E 20.159912°		 ← 136.55 m →
18 644 m²		 S 63.443142°
E 20.162659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 95657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.556003570556641 y=0.729808807373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.556003570556641 × 217)
    floor (0.556003570556641 × 131072)
    floor (72876.5)     		tx = 72876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.729808807373047 × 217)
    floor (0.729808807373047 × 131072)
    floor (95657.5)     		ty = 95657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72876 / 95657 ti = "17/72876/95657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72876/95657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72876 ÷ 217
    72876 ÷ 131072     		x = 0.555999755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 95657 ÷ 217
    95657 ÷ 131072     		y = 0.729804992675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555999755859375 × 2 - 1) × π
    0.11199951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.35185684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.729804992675781 × 2 - 1) × π
    -0.459609985351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.44390735345571
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35185684} λ = 0.35185684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.44390735345571))-π/2
    2×atan(0.236003804468857)-π/2
    2×0.231763018060858-π/2
    0.463526036121716-1.57079632675     		φ = -1.10727029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35185684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.159912°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.10727029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.441914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72876 KachelY 95657 0.35185684 -1.10727029 20.159912 -63.441914
    Oben rechts KachelX + 1 72877 KachelY 95657 0.35190478 -1.10727029 20.162659 -63.441914
    Unten links KachelX 72876 KachelY + 1 95658 0.35185684 -1.10729172 20.159912 -63.443142
    Unten rechts KachelX + 1 72877 KachelY + 1 95658 0.35190478 -1.10729172 20.162659 -63.443142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.10727029--1.10729172) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dl = 136.530530000637m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.10727029--1.10729172) × R
    2.14300000001e-05 × 6371000     		dr = 136.530530000637m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35185684-0.35190478) × cos(-1.10727029) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447104854708726 × 6371000     		do = 136.557331106916m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35185684-0.35190478) × cos(-1.10729172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.447085685866379 × 6371000     		du = 136.551476449057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.10727029)-sin(-1.10729172))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447104854708726-0.447085685866379)×R²
    abs(0.35190478-0.35185684)×1.91688423475389e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.91688423475389e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.91688423475389e-05×40589641000000     		ar = 18643.8451225778m²