Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 72873 / 55388
↖ ↑ ↗
← N 26.833874°
E 20.151672°		 ← 272.54 m → N 26.833874°
E 20.154419°		 →
↑
272.49 m
↓
↑
272.49 m
↓
N 26.831424°
E 20.151672°		 ← 272.54 m →
74 264 m²		 N 26.831424°
E 20.154419°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 72873 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 55388 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.555980682373047 y=0.422580718994141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.555980682373047 × 217)
    floor (0.555980682373047 × 131072)
    floor (72873.5)     		tx = 72873
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422580718994141 × 217)
    floor (0.422580718994141 × 131072)
    floor (55388.5)     		ty = 55388
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 72873 / 55388 ti = "17/72873/55388"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/72873/55388.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 72873 ÷ 217
    72873 ÷ 131072     		x = 0.555976867675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 55388 ÷ 217
    55388 ÷ 131072     		y = 0.422576904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.555976867675781 × 2 - 1) × π
    0.111953735351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.35171303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422576904296875 × 2 - 1) × π
    0.15484619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.48646365734433
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.35171303} λ = 0.35171303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.48646365734433))-π/2
    2×atan(1.62655398510273)-π/2
    2×1.01956789406863-π/2
    2.03913578813726-1.57079632675     		φ = 0.46833946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.35171303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 20.151672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46833946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.833874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 72873 KachelY 55388 0.35171303 0.46833946 20.151672 26.833874
    Oben rechts KachelX + 1 72874 KachelY 55388 0.35176097 0.46833946 20.154419 26.833874
    Unten links KachelX 72873 KachelY + 1 55389 0.35171303 0.46829669 20.151672 26.831424
    Unten rechts KachelX + 1 72874 KachelY + 1 55389 0.35176097 0.46829669 20.154419 26.831424
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46833946-0.46829669) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dl = 272.487669999807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46833946-0.46829669) × R
    4.27699999999698e-05 × 6371000     		dr = 272.487669999807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.35171303-0.35176097) × cos(0.46833946) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892319094440206 × 6371000     		do = 272.537219735667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.35171303-0.35176097) × cos(0.46829669) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.892338400223467 × 6371000     		du = 272.543116218805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46833946)-sin(0.46829669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892319094440206-0.892338400223467)×R²
    abs(0.35176097-0.35171303)×1.93057832608146e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93057832608146e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93057832608146e-05×40589641000000     		ar = 74263.8353647646m²